押野塾: 7月 2020

・〔各ファイルの[%□]の背景色は茶:「確認中」; 灰:「確認済」; シアン:「初期化済」〕
・〔各項目[(□)]の背景色も同様. 茶:「編集中」; 灰:「確認中」; 白:「未初期化」〕

・[%714P4]を更新

・[%714P5]を追加

%70:複素数で考える商群（１）/*「目次」*/

`▼
--------------------------------------------------------------------------------

%71:複素数で考える商群（１）

%711D1:〔定義71.1〕/*「多項式環」*/

%712D1:〔定義71.2〕/*「正規部分群」*/

%713D1:〔定義71.3〕/*「商群」*/

%713M1:[%629M1]への補足

%713P1:巡回符号とM系列

%713P2:「x^{3} - 3 * x - 1」の最小分解体

%714D1:〔定義71.4〕/*「可解群」*/

%713M2:商群に関する無責任メモ`

%714P3:〔問71.3〕/*「１のべき乗根の商群」*/

%714P4:〔問71.4〕/*「正数のべき乗根の商群」*/

%714P5:〔問71.5〕/*「既約多項式の剰余類の商群」*/

%72:複素数で考える商群（２）

%721:〔定理6.5〕(p.467)
%722:〔定理6.7〕(p.478)
%723:〔定理6.8〕(p.480)
%724:〔定理6.9〕(p.481)
%725:〔定理6.A〕(p.486)
%726:〔定理6.B〕(p.488)

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`▲「灰色」は別ファイル

%701:「gooブログ」の記事
`▼
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　[75_]「〔第1章〕の復習（５）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/44f62cc03d4d7c0d33d6a4fe59e26331
　[76_]「〔第2章〕の復習（６）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/1494b69f0bbb8c6d7793afb467dcafa0
　[77_]「〔第2章〕の復習（７）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/db7541e83f506a504199fa715a513b12
　[78_]「〔第2章〕の復習（８）」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/2cb7c35acfcc634cf14d095283143f6b
　[79_blogmura-yy]「ピークの定理関連資料」@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/e8b60af195f9178367fb30154bde7914
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`▲

%702:正誤表

`▼

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(1)『ガロア理論の頂を踏む』（初版～6刷）正誤表

　　https://www.beret.co.jp/errata/book/487

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`▲

%711:多項式環

%711D1:記号の定義/*「多項式環」*/
`▼
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(0)実数体を複素数体に拡大する解説を調べて要点を示せ．

(1)参考資料

　①【[%615D1](0)⑤】/*「∠(K'/M)」*/

　②【[%626D1](2)】/*「W`(K'/M)」*/

　③【[%629M1](0)⑤】/*「ω(M; K')」*/

　④[_多項式環#体上の一変数多項式環_K[X]]@

　　https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式環#体上の一変数多項式環_K[X]

　⑤[3_拡大体]@http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/

　⑥[4_]「８　体の拡大とn次代数方程式の解法へ」@

　　http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/280rng.html

　⑦[_単拡大]@https://ja.wikipedia.org/wiki/単拡大

(2)「(1)⑤」からの引用

実例として、複素数体「 `C」は実数体「`R」に「 i_^{2} + 1 = 0」を満たす i_ を唯一つ付け加えて得られる。
それに応じ、多項式「X^{2} + 1」は「`R」上既約であって
C ? R [ X ] / ( X ^{2} + 1 ) /*「\textstyle \mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)」*/
という同型が成立する。/*「 ? 」の記号は「画像フォルダ★」に保存*/
★https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/4d/91/6893a2d16b6b470123c299910be9c50c.png
(3)「(1)⑥」からの引用

ここで，拡大体の表記法を紹介しておきます．体「Ｆ」に新たに代数的な元
「θ」を添加して拡大体を作るとき，その拡大体を「Ｆ(θ)」のように書きます．
特に，元を一個だけ添加して得られる拡大体を「単純拡大体」と呼びます．
複素数体は，実数体の拡大体で，拡大次数は「2」であることを確認してみてください．

(4)「`Q(x)」上の「n次」の多項式「P(x)」を「(x - α)」で除算した

　商を「Γ(P(x)/(x - α))」，剰余を「Δ(P(x)/(x - α))」と表記．

　①一般には通用しない非慣用記法です

　②「α =' W`(1/3」とすると「Δ((x^{3} - 1)/(x - α)) = 0」であり

　　「x^{3} - 1 = (x - 1) * (x^{2} + x + 1)」/*「(α^{3} - 1) = 0」*/

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`▲「(4)」を追加

%712:正規部分群

%712D1:記号の定義/*「正規部分群」*/
`▼
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(0)「正規部分群」に関する解説を調べよ．
(1)参考資料
　①[_正規部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/正規部分群
　②[7_正規部分群]＠
　　https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/hosoku/seiki_bubun.html
　③[3_正規部分群に関する幾つかの性質]
@http://hooktail.sub.jp/algebra/NormalSubgroup2/
　④[3_同型定理]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Isomorphism/
　⑤[4_正規部分群]@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/080gun.html
　⑥[_同型定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型定理
(2)【[%423TF](1).[%1B]】の紹介（灰色）
　@https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/45a9e6897d614ae2de6acbb1e9dd5736
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(0)「H」,「N」が「G」の部分群であるとき
　(ア)「H∩N」は「G」の部分群
　(イ)特に「N」が「G」の正規部分群であれば「HN」は「G」の部分群
(1)原著の「HN」〔p.145〕は分かり難いので，「(`H1)(`N2)」を
　「`H1(`N2) = {(h, n); (h ∈ `H1) ∧ (n ∈ `N2)}」と表示．/*「非慣用記法」*/
(2)上のように定めた「f: G → (G / N)」を「自然準同型」と呼びます．/*〔p.147〕*/
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(3)【[1_61D1](3)】で定義した「`G=Δ(K'/M)'」( K'∈ `N(M) )に対して次の記号を定義．
　①「`G」の元「x'」,「y'」の和を「`R」の加法で計算することを「GR`(「＋」; `G)」と表記．
　②「`G」の元「x'」,「y'」の積を「`R」の乗法で計算することを「GR`(「＊」; `G)」と表記．
　③「(1)」の「(`H1)(`N2)」は【[%60]】では使っていません
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`▲

%713:商群

%713D1:記号の定義/*「商群」*/
`▼
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(0)「商群」に関する解説を調べよ．/*〔原著の索引には不在〕*/

(1)参考資料

　①[_商群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/商群
　②[3_商群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/QuotientGroup/
　③[81_noppoman]「商群」@https://note.com/noppoman/n/nb4bd7142700b
(2)「`Δ(K'/ M)'={Δ(K/ M); K ∈ `N(M)}」/*【[1_61D1](3)】*/だから
　「(0)」の解は「`G = {`Δ(1/ 3)', `Δ(2/ 3)', `Δ(3/ 3)'}」
(3)「`Δ(K'/ 3)'」は「Δ(K'/ 3)」を「代表元」とする「M」を法とする剰余類の
　元(集合)であり，慣用記法の「`Z/ 3 `Z」に等しい
(4)このブログの記法では「`Z/ 3 `Z」は「`Δ(K'/ 3)」( K ∈ `Z )と同じ集合
(5)「(1)③」から削除された図は〔問2.3〕（p.123①）の「N = eV ∪ σV ∪ σ^{2}V」を
「N = eV ∪ σ^{2}V ∪ σ^{4}V」/*「交代群」*/で置換した集合だった？
　/*〔「blogmura-yy」でログインしなければ確認不能〕*/
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`▲

%713M1`:[%629M1]への補足/*「幾何学的解釈」*/
`▼
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(0)[%629M1].[%62]を表示したタブと切り替えて読むことを想定．
　 /*〔「Nexus7」でもタブを３個まで表示できる．「スマホ」は？〕*/
(1)参考資料
　①[%62]@https://bonsai-juku.blogspot.com/2020/07/blog-post_64.html
　　/*〔【[%629M1](3)②】を【(3)②】のように略記．〕*/

　②[_巡回符号]@https://ja.wikipedia.org/wiki/巡回符号

　③[_M系列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/M系列

　④[_LFSR]@https://ja.wikipedia.org/wiki/線形帰還シフトレジスタ

　⑤[_体の拡大]@https://ja.wikipedia.org/wiki/体の拡大

(2)【(3)②】で定義した下記の非慣用記法を使うと考え易い

「(`H1, `N2)" := {(h1', n2'); (h1', n2') ∈ `H1 × `N2 }」
(3★)【(7)②】のように
　　「`G0 =' {Δ(k / 15); k ∈ `N(15)}」
　　「`H1 =' {Δ((k * 5) / 15); k ∈ `N(3)}」
　　「`N2 =' {Δ((k * 3) / 15); k ∈ `N(5)}」
　　「 g0' =' Δ(k0' / 15)」,
　　「 h1' =' Δ((k1' * 5) / 15)」,
　　「 n2' =' Δ((k2' * 3) / 15)」.
　として「`G0」の元を「_xy平面」上に表示すると

　「Δ(k0' / 15)」（ k0' ∈ `N(15) ）は「W`(k0' / 15)」に対応する

　　/*〔{k1',k2',k0'}は独立変数．{h1',n2',g0'}は従属変数〕*/
(3☆)【(7)②】のように
　　「`G0 =' {Δ(k / 15); k ∈ `Z(15)}」
　　「`H1 =' {Δ((k * 5) / 15); k ∈ `Z(3)}」
　　「`N2 =' {Δ((k * 3) / 15); k ∈ `Z(5)}」
　　「 g0' =' Δ(k0' / 15)」,
　　「 h1' =' Δ((k1' * 5) / 15)」,
　　「 n2' =' Δ((k2' * 3) / 15)」,
　として「`G0」の元を「_xy平面」上に表示すると
　「Δ(k0' / 15)」（ k0' ∈ `Z(15) ）は「Z`(k0'/15)」に対応する
　　/*〔{k1',k2',k0'}は独立変数．{h1',n2',g0'}は従属変数〕*/

(4)分数を使わない人は「(k1',k2',k0') = (1, 1, 2)」のときの【(7)③】を
　「δ(3; 1)・δ(5; 1)・δ(15; 2)」/*〔「・」＝「+」〕*/と考えて
　「(n1)(h2)(g0)」と略記している？/*【[%606](3)】*/
　①「δ(M; k') := M *Δ(k' / M) = k'」
　②「(h1) + (n2) + (g0)」と書きたくない気持ちは分かるが
　　「・」を省くから慣れないと分かり難い．
　③「Δ(3 / 15) + Δ(k0' / 15) ∈ `H1」となる
　　「`G0」の元は「Δ((±2) / 15)」
　　/*〔「|k0'| = 2|」のとき「|k0'|」が最小〕*/

　④「(n2)(g0) = (h1)」「(g0)(g0)^{_1} = 0」/*【[%606](3)】*/

　⑤「`N2」がアーベル群なら
　　「(g0)^{_1}(n2)(g0) = (g0)^{_1}(g0)(n2) = (n2)」
　⑥「(g0)^{_1}(( h1), (n2))((g0)) = ((g0)^{_1}(h1)(g0),(n2))」
　⑦この例では「`H1」もアーベル群だから「⑥」の右辺は「`H1 × `N2」の元
　⑧【[%629M1](7)】の「`Δ(k' / M)"」を使って集合を拡大できる

(5)【(7)(3★)】で馬脚が露われました

　①各ファイル冒頭に挿入．対象パラグラフを「赤の[%□`:]」で明示
　②「`R」では「Δ(M / M) = 0」であることを活用して「`N(M)」を使っていたが
　　「Δ((M - k') / M)」が「Δ((- k') / M)」の代替にならないことが判明．
　③「Δ((- k') / M)」に「W`((- k') / M)」を対応させればよい（円周上を逆回転）．

　④応急処置は「`Z(M) := {k; (k∈ `Z) ∧ (k ＜ M)}」と定義して

「`N(M)」を「`N(M + 1)」で置換．
　⑤最小の体は「`Δ(1 / 2) = {Δ(1 / 2), Δ(2 / 2)}」（ 2 ∈ `Z(2) ）
　⑥除算「5 / (- 2)」の商は「- 2」，剰余は「- 0.5」

　　/*〔まず「Δ(- 2.5) = - 0.5」．「無理数」でも同じ〕*/

　⑦「k'」（ k' ∈ `Z(M) ）に対する定義を次式のように修正する．

　　「σ(Δ(k' / M)) := Δ((k' + 1) / M)」

　　「τ(Δ(k' / M)) := -Δ(k'/ M)」

(6)以下は自然な準同型に関する無責任推測

　①「(3)」の「`M2」の原始根を「`H1」の原始根に変換するのが自然な準同型？

　②とりあえず「Δ(k' / M)」を「_xy平面」上の点「W`(k' / M)」に対応させる．

　③「W`(M / M)」は乗法の単位元/*「W`(M / M) = 1」*/

　　/*〔正統派は「δ(M; 0)」を「e」と表記．【[%604](2)】〕*/

　④加法の単位元は不在だが「W`(k' / M) + W`((- k') / M) = 0」

　⑤加法と乗法法の単位元が存在すれば体になる．/*【[%612D1](3)】*/

　⑥「`G0」の元「W`(k' / M)」（ k' ∈ `Z(15) ）は「_xy平面」上の点．

　⑦「_xy平面」上の図から「`Δ(1 / 5) ⊂ `Δ(1 / 15)」は自明．

　　/*〔「W`((k' * 3) / 15) = W`(k' / 5)」（ k' ∈ `Z(5) ）〕*/

　⑧「⑦」の「f(k') =' (k' * 3)」は同型写像．

　⑨「`Δ(1 / 5)」は「<σ, τ>」の固定体．/*「〔定理5.23〕(p.364)」*/

　⑩数平面上の円の半径が変わると準同型写像になる．/*「〔問5.4〕(p.288)」*/

　⑪とりあえず線形空間の基底は考えない．/*「〔問5.6〕(p.312)」*/

　⑫「`Δ(k1' / 3)」と「`Δ(k2' / 5)」の元を「⑦」のように数平面上の

　　「W`((k1' * 5) / 15)」「W`((k2' * 3) / 15)」に対応させる．

　⑬「⑫」は複素数のままで計算できる．/*「基底無用！」*/

(7)「Q(x) =' 2 * (x^{8} - 1)」「P(x)=' x^{2} + 1」として剰余多項式を計算

　①「Q(x) = (x^{4} - 1)*(x^{2} + 1)*(x^{2} - 1) 」だから

　　「Δ(Q(x) / P(x)) = 2 * (x^{4} - 1)*(x^{2} - 1)」

　②「Δ(Q(x) / P(x))」は長さ「7」のM系列を生成する原始多項式

　③「Δ(Q(x) / (x^{2} - 1))」も既約多項式

　④★〔問5.9〕の「x^{3} - 3 * x - 1」の最小分解体の原始根は「2 * W`(1 / 9)」

　④☆「(9)」参照．/*「〔問5.9〕は「F_p{3}」の「F_p{3^{2}}」への拡大」*/

(8)「(7)①」への補足/*「W`(m / m) = 1」*/

　①「(x^{2} - 5) = α^{2} * (x - α) * (x - α^{2})」

　　/*〔「α^{k'} = 5^{1 / 2}* W`(k' / 2)」（ k' ∈ `N(2) ）〕*/

　②「(x^{3} - 5) = α^{3} * (x - α) * (x - α^{2}) * (x - α^{3})」

　　/*〔「α^{k'} = 5^{1 / 3} * W`(k' / 3)」（ k' ∈ `N(3) ）〕*/

　③「(x^{8} - 5) = α^{8} * (x - α) *, …, * (x - α^{8})」

　　/*〔「α^{k'} = 5^{1 / 8}* W`(k' / 8)」（ k' ∈ `N(8) ）〕*/

　④「Δ(Q(x) / P(x)) = x^{6} - x^{4} - x^{2} + 1」

　⑤「Q(5^{1 / m})」を追加するときは「5^{1 / m} * W'(k'/m)」の円で考える．

　⑥「Q(x) = x^{n} - m」の形でないときは「⑤」は無効．

　⑦〔定理3.2〕(p.201)の紹介は省略．/*〔「F_{p}」上の多項式は整域〕*/

　⑧数平面上の点「W`((k' * 4) / 8)」（ k' ∈ `N(4) ）には

　　「W`(k' / 2)」（ k' ∈ `N(2) ）に対応する「`Δ(1 / 2)」と同型な

　　な「8 / 2」個の有限体が含まれる．

　⑨【[%713P1]】で拡大体「F_p{2^{3}}」上の巡回符号とM系列について補足する

(9)「(7)④」への補足/*〔「i_」は虚数単位【[%605](3)⑤】〕*/

　⑤数平面上の点「W`((k' * 3) / 9)」（ k' ∈ `N(3) ）には

　　「W`(k' / 3)」（ k' ∈ `N(3) ）に対応する「`Δ(1 / 3)」と同型な

　　な「9 / 3」個の有限体が含まれる．

　⑥説明が長くなるので【[%713P2]】で補足．/*〔問71.2〕*/

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`▲作業中．/*〔背景色・フォントはオプション(省略可)〕*/

%713M2:商群に関する無責任メモ`▼

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(0)「商群」に関する解説を調べて要約せよ．

(1)参考資料

　①[_商群#性質]@https://ja.wikipedia.org/wiki/商群#性質

　②[_対応定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/対応定理

　③[_同型定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型定理

(2)抽象的な説明が多いのでとりあえず「(4)」を作成

(3)「(1)①」の解説の紹介/*「過剰引用を自粛」*/

　①商群 G/G は自明群（ただ1つの元を持つ群）に、G/{e} は G に、同型である。

　②G/N の位数、すなわち元の個数は、|G : N| に等しい。

　③G の各元 g を g が属する N の剰余類に送る「自然な」全射群準同型

　　π: G → G/N すなわち π(g) = gN が存在する。

　④N を含む G の部分群たちと G/N の部分群たちの間には全単射な対応がある

　⑤この対応は G と G/N の正規部分群たちに対しても成り立ち、

　　対応定理として定式化される。

　⑥商群のいくつかの重要な性質は準同型定理とに含まれている。

　⑦G がアーベル、冪零、可解、巡回、あるいは有限生成ならば、G/N もそうである。

(4)素人の無責任推測（`N は `G の正規部分群）/*【[%604](0)③】*/

　①「ω(n; k') := W`(k'/n)」,「`ω(n) := {`ω(n; k); k ∈ `N}」と定義

　②「Δ(k1'/n) + Δ(k2'/n) = Δ((k1' + k2')/n)」

　③「Δ(k1'/n) * Δ(k2'/n) = Δ((k1' * k2')/(n * n))」

　④「g = ω(n; k')」であれば「g^{_1} = ω(n; (- k'))」．/*【[%604](0)⑨】*/

　⑤「`N := {ω(n; n); n ∈ `N}」とすると

　　「∀n ∈ `N,∀g ∈ `ω(n),(g * n * g^{_1}) ∈ `N」

　⑥「`Δ(k'/n) := {Δ(k/n); k∈ `N(n)}」は実数体上の加法でアーベル群．

　⑦「ω(n; k1')*ω(n; k2') = ω(n; (k1' + K2')」

　⑩以下の「⑪-⑮」は「(3)」の「①-⑤」に対応

　⑪「e」の定義は「巡回群の単位元」で検索しても不明/*〔問2.5〕(p.131)*/

　⑫「g = Δ(2/5)」ならば「 g が属する `N の剰余類」は「`Δ(1/5)」

　⑬「g = Δ(2/5)」ならば「g^{_1}= Δ(3/5)」

　⑭このブログでは「n = Δ(5/5)」を「W`(5/5) = 1」に対応させている

　⑮「⑭」の「W`(2/5)」は「1」の左回り，「W`((- 2)/5)」は「1」の右回りの回転

　⑯「W`(1/n)」は「`ω(n)」の原始根（どの元も単位円上の点）

　⑰「n」が素数であれば「`ω(n)」は有限体になるので四則演算はあまり考えない

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`▲作業中

%713P1:巡回符号とM系列．/*〔問71.1〕*/

`▼

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(0)「Fp_{2}」上の原始多項式「x^{3} + x^{2} + 1」が生成する「M系列」を示せ

　①「M」が素数であれば【[%713M1](4)①】で定義した「δ(M; k')」は

　　「`R」上の四則演算で体になる

　②拡大体「F_p{2^{3}}」では「W`(k'/16)」（ k'∈ `N(16) ）上の点を

　　点対「(W`(k' * 2)/16), (W`(k' * 2 + 8)/16))」で考える

　③「②」の式では考えにくいので「`W[k']」（ k'∈ `N(8) ）を次式で定義．

　　「`W[k'] :={W`(k' * 2)/16),W`(k' * 2 + 8)/16)}」

　④「`W[k']」は基礎体と同型な体であり巡回符号では「α =' W`(1/8)」とおいて

　　符号語を「`W[k']」に対応させる．
(1)参考資料【[%713M1](1)②-⑤】

(2)このパラグラフはガロア拡大体「Fp_{2^{n}}」との関係が気になる人の参考．

　原著の復習には無用．/*〔「(3)」に「(0)」の解を提示〕*/

(3)時刻「t」での内部状態が「(r1(t), r2(t), r3(t))」で状態遷移が

　「r1(t + 1) = r1(t) (+) r3(t)」「r2(t + 1) = r1(t)」「r3(t + 1) = r2(t)」である

　「LFSR」の初期値を「(r1(0), r2(0), r3(0))=(1, 0, 0)」とすると

　生成されるM系列は「(r1(0), …, r1(7)) = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0)」の繰り返し．

　/*〔∀t∈`N,「r1(t) = r1(t + 8)」〕*/

　①「r2(t)」の値に着目すると「(r2(1), …, r2(7)) = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0) 」

　②「r1(t + 1) = x(t)」,「r1(t) + r3(t) = v(t)」,

　　「r2(t + 1) = v(t)」,「r3(t) = y(t)」であるLFSRの回路構成を「z変換」で表すと

　　「V(z) = z^{-1} * X(z) + z^{-2} * Y(z)」/*〔「+」は「F_P{2}」での加算〕*/

　③伝達関数「Y(z)/X(z)」は「(z^{-3})/(1 - z^{-2} - z^{-3})」

(4)「gooブログ」の記事の紹介/*「二重誤り訂正符号」*/

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[1]https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/a26319f5081381d433f1e508a622178e

[2]https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/d2c695f76182324b90985e720c76c8d7

[3]https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/8c9e1b9d56d39c6af0a760cf1bc94b1f

[4]

[5]

[6]

[7]https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/51a09bda7c92e4ebd3b214de12002ee0

------------------------------------------------------------

(5)〔問5.14〕(p.344)に関するメモ

　①「Q(2^{1/2}, 3^{1/2})」の元は有理数「{a, b, c, d} ⊂ `Q」を用いて

　　「a * (2^{1/6} + b * (2^{1/3} + c * (2^{1/2}) + d」と表現できる．

　②数平面上の点「W`(k'/6)」の図を考えれば自明？

　　「W`((k' * 3)/6) = W`(k'/2)」,「W`((k' * 2)/6)=W`(k'/3)」

(6)「(5)②」への補足

　①〔問5.6〕(p.312):「Q(2^{1/2})」の基底は「{2^{1/2}, 1}」

　②〔問5.7〕(p.314):「Q(α)」の基底は「{α, …, α^{n}}」

　③〔問5.13〕(p.343):「Q(2^{1/2} + 2^{1/3}) = Q(2^{1/2}, 2^{1/3})」

　④〔問5.14〕(p.344):「Q(2^{1/2}, 2^{1/3})」の元は

　　「a * 6^{1/2} + b * 6^{1/2} + c * 6^{1/3} + d」（ {a, b, c, d} ⊂ `Q ）

　⑤「①」の「{2^{1/2}, 1}」を「{W`(1/2), W`(2/2)}」に対応させる．

　⑥「③」の「Q(2^{1/2}, 2^{1/3})」には「W`(k1'/2), W`(k2 '/3)」が混在

　⑦「W`(k1'/2) ≡' W`((k1' * 3)/6)」,「W`(k2'/3) ≡' W`((k2' * 2)/6)」

　⑧加減法，乗法に関しては「(5)②」はほぼ自明．

　⑨除法に関しては〔問5.14〕の説明から

　　「W`(k'/n)」（ k' ∈ `N(n) ）の逆数を「1/W`((n - k')/n)」と考える

(7)基底に関するメモ

　①「(6)①」の基底「{2^{1/2}, 1}」が分かり難い

　②とりあえず「1」に「W`(n/n)」を対応させる

　③「n」が素数であれば「`Δ(1 / n)」は有限体だから

　　「Q(α)={α, α^{2}, α^{2}, …, α^{n}}」．/*〔α =' m^{1/n}〕*/

　④★「τ(3^{1/2}, 2^{1/2})」(p.367)の「τ」の定義式が不明．/*「取り消し」*/

　④☆〔問2.1〕(p.98)では

　　「σ」:「正三角形」の「120°」回転(左回り)

　　「τ」:「_xy平面」の「y軸」と対称な点への移動

　⑤ブログでは「τ(W`(k'/n)) := - W`(k'/n)」と定義．/*【[%629M1](2)⑤】*/

　⑥原著の「対称軸で折り返し」(p.360)の図よりも

　　「F_p{3^{2}}」や「F_p{2^{8}}」の元を考えやすい！

　⑦「n」が奇数なら「τ(W`(k'/n)) = W`((n + (n - k') * 2)/(2 * n)」

　　・「W`(((n - k') * 2))/(2 * n)) = W`((n + (n - k') * 2)/(2 * n)」

　　・「τ(W`(n + 10)/(2 * n)))」は「W`(5/n)」の「原点と対称な点への移動」

　⑧「`Q(x)」は有理係数多項式の集合であるが整係数多項式の集合を考えるときは

　　「⑥」の方がよいかも．/*〔数学者の関心は「代数的整数★」に移行済み？〕*/

　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的整数#代数的整数となる例

　⑨【[%713P1]】の原始多項式「x^{3}+x^{2}+1」で生成される拡大体　　
　　「F_p{2^{3}}」では原点に関して対称な点対が部分群．

--------------------------------------------------------------------------------

`▲作業中．/*〔「(3)②」の「(+)」は排他的論理和〕*/

%713P2:「x^{3} - 3 * x - 1」の最小分解体．/*〔問71.2〕*/

`▼

--------------------------------------------------------------------------------

(0)「x^{3} - 3 * x - 1」の最小分解体を示せ．/*〔問5.9〕(p.322)*/

　・字数削減のため「□ / □」を「□/□」と略記．

(1)参考資料

　①[_拡大体]@Wikipedia

　②[3_拡大体]@hooktail

　③〔定理5.2〕(p.287)/*「最小多項式」*/

　④〔定義5.7〕(p.320)/*「最小分解体」*/

(2)まず「β =' 2 * cos(40°)」として「β^{3} - 3 * β + 1 = 0」を確認する．

　①「β/2 = W`(1/9) + W`(8/9)」．/*「cos(40°) + cos(320°)」*/

　②「β^{3} 」を計算すると
　　「W`(3/9) + 3 * (W`(2/9)* W`(8/9) + W`(1/9) * W`(7/9)) + W`(6/9)」

　　/*「(x + y)^{3} = x^{3} + 3 * (x^{2} * y + x * y^{2}) + x^{3}」*/

　③「β^{3} = W`(3/9) + 3 * (W`(10/9) + W`(8/9) ) + W`(6/9)」

　④「W`(1/3) = (-1 /2)+ 3^{1/2}*(i_)」

　⑤「W`(2/3) = (-1 /2)- 3^{1/2}*(i_)」

　⑥したがって「β^{3} - 3 * β + 1 = 0」

　⑦「β」は「x^{3} - 3 * x + 1」の一つの実数解だから実係数２次方程式

　　「Δ((x^{3} - 3 * x + 1)/(x - β)) = 0」の解を「{γ, α}」とすると

　　最小多項式は「(x - β) * (x - γ) * (x - α)」

　⑧「x^{9} - 1」には「`Δ(1 / 3)」と同型な部分群が３個存在する．

　　 /*【[%713M1](9)】*/

　⑨〔問5.9〕(p.323)の「{α, β, γ}」は「F_p{3^{2}}」の元ではない

(3)「{α^{3}, α^{6}, α^{9}}」と合同な正三角形の頂点は「- 40°」回転した

　「{α^{2}, α^{5}, α^{8}}」,「{α^{1},α^{4}, α^{7}}」．

(4)「gooブログ」の記事の紹介

　①GF(3)の拡大 (1)

　　http://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/fc3374e111363407f7d1d6e690a9e298

　②GF(3)の拡大 (2)

　　https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/29f4a43adbf20417691855ed33a5945a

　③GF(3)の拡大 (3)

　　https://blog.goo.ne.jp/bonsai-juku/e/faa14b9644f0511e8aea1ca7fc67c5e3

(5)「(3)」への補足

　①「α =' W`(1/3)」とおくと「W`((k' * 3)/9) = W`((k')/3)」（k' ∈`Z(3)）

　②「W`((k')/3)」は「Δ((k')/3)」の数平面表示

　③【[%713M1](5)】により「k'」の定義域を「`N(3)」から「`Z(3)」に移動

　④「M」が素数であれば「`Δ(1/M) = {Δ(k/M); k ∈ `Z(M)}」
　　/*「W`(M/M) = 1」*/

　⑤点「W`((k')/M)」は「`Δ(1/M)」の元「Δ((k')/M)」の数平面表示

　⑥巡回シフト演算子「σ」は「σ(Δ(k'/M)) := Δ((k' + 1)/M)」（ k' ∈ `Z(M) ）

　⑦反転演算子「τ」は「τ(Δ(k'/M)) := Δ((- k')/M)」（ k' ∈ `Z(M) ）

　⑧演算子「σ」,「τ」は巡回群「`Δ(k'/M)」上の同型写像．

　⑨「⑧」の「M」は素数でなくてもよい．/*既約剰余類は「`Δ(k/M)'」*/

　⑩「Δ(x')」（ x' ∈ `R ）は「x'」の小数部で「Γ(x')」は

　　「x' - Δ(x')」を超えない最大の整数．/*【[%611D1]】*/

　⑪「σ^{6}」,「τ^{2}」は「`Δ(1/6)」上での恒等写像

　⑫「τ(Δ(k/6))」は単位円上の点の逆回転．/*「W`(5)/6) + W`((- 5)/6) = 0」*/

(6)「τ」による同型写像．/*「τ(`Δ(1/9)) ≡' `Δ(1/9))」*/

　①「τ(Δ(k'/M)) = -(k'/M))= -((M - k')/M))」．/*「(5)⑦」*/

　②「{α^{3}, α^{6}, α^{9}}」と合同な正三角形は

　　「{W`(3/18), W`(6/18), W`(9/18)}」．

　　 /*「W`(6/18) = - α^{3}」,「W`(6/18) = - α^{6}」,「W`(9/18) = - α^{9}」*/

　②「{α^{3}, α^{6}, α^{9}}」と合同な正三角形は

　　「{W`(3/18), W`(6/18), W`(9/18)}」．

　　　/*「W`(6/18) = - α^{6}」*/

　③「②」の二つの正三角形の頂点は原点に関して点対称

　　/*「(x + y * (i_)) +((- x) + (- y) * (i_)) = 0 」*/

　④〔問5.20〕(p.399)の「`Q(2^{1/2}, i_)」でも数平面上の正方形の頂点

　　「W`(k'/4)」（ k' ∈ `Z(4) ）の移動を次式のように考える方が分かりやすい

　　「σW`(k'/4) = W`((k' + 1)/4)」,「τW`(k'/4) = - W`(k'/4)」

　⑤〔問5.20〕の「x^{4} - 2」は「β =' 2^{1/4}」を用いて直接因数分解できる

　　「x^{4} - β^{4} = (x^{2} + β^{2}) * (x + β) * (x - β)」

　　「x^{2} + β^{2} = (x + β * i_) * (x - β * i_)」

　⑥「⑤」の「x^{4} - 2」の元は点「β*W`(k'/4)」（ k'∈ `Z(4) ）に対応

(7)基底に関するメモ
　①「(6)①」の基底「{2^{1/2}, 1}」が分かり難い
　②とりあえず「1」に「W`(n/n)」を対応させる
　③「n」が素数であれば「`Δ(1 / n)」は有限体だから
　　「Q(α)={α, α^{2}, α^{2}, …, α^{n}}」．/*〔α =' m^{1/n}〕*/
　④★「τ(3^{1/2}, 2^{1/2})」(p.367)の「τ」の定義式が不明
　④☆〔問2.1〕(p.98)では
　　・「σ」:「正三角形」の「120°」回転(左回り)
　　・「τ」:「_xy平面」の「y軸」と対称な点への移動
　⑤ブログでは「τ(W`(k'/n)) := - W`(k'/n)」と定義．/*【[%629M1](2)⑤】*/
　⑥原著の「対称軸で折り返し」(p.360)の図よりも
　　「F_p{3^{2}}」や「F_p{2^{8}}」の元を考えやすい！
　⑦「n」が奇数なら「τ(W`(k'/n)) = W`((n + (n - k') * 2)/(2 * n)」
　　・「W`(((n - k') * 2))/(2 * n)) = W`((n + (n - k') * 2)/(2 * n)」
　　・「τ(W`(n + 10)/(2 * n)))」は「W`(5/n)」の原点と対称な点への移動
　⑧「`Q(x)」は有理係数多項式の集合であるが整係数多項式の集合を考えるときは
　　「⑥」の方がよいかも．/*「代数的整数★」*/
　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的整数#代数的整数となる例
　⑨【[%713P1]】の原始多項式「x^{3}+x^{2}+1」で生成される拡大体　　
　　「F_p{2^{3}}」では原点に関して対称な点対が部分群．
(8)「`Δ(k'/M)」の元についても「α =' W`(1/25)」で考えると「(6)」と同様

　①「{α^{5}, α^{10}, α^{15}, α^{20}, α^{25}}」と合同な正五角形は

　　「{W`(5/50), W`(10/50), W`(15/50), W`(20/50), W`(25/50)}」．

　②単位円に内接する正五角形の一辺の長さは「2 * sin(72°)」

　③「W`(1/5)=cos(72°) + i_ * sin(72°)」/*「(360°)/5 = 72°」*/

　　「W`(4/5)=cos(72°) - i_ * sin(72°)」

　　/*〔「W`((- k')/5) = W`((5 - k')/5)」（ k' ∈ `Z(5) ）〕*/

　④「正三角形」のときは「W`(1/3) - W`(2/3)」

　　「正九角形」のときは「W`(1/9) - W`(8/9)」

　⑤〔問6.1〕(p.414)の図は「ζ = W`(1/5)」(原始根),「ζ^{4}= W`(4/5)」

　⑥「β =' sin(72°)」と定めると「W`(1/5) - W`(4/5) = 2 * (i_) * β」だから半径

　　「(W`(k'/5)/β」（ k' ∈ `Z(5) ）の点を描くと半径「1/β」の円上にある

　　正五角形の一辺の長さが「2」(整数)になる．
　⑦「x^{5} - 7 = 0」の根「α =' 7^{1/5}」を含む「`Q(α)」を考えたいときは，

　　「α^{5} * W`(k'/5)」（ k' ∈ `Z(5) ）/*〔「W`(1/5)」: 原始根〕*/

--------------------------------------------------------------------------------

`▲「k」は定数(の例)，「k'」は変数(要変域)．

%713P3:〔問71.3〕/*「１のべき乗根の商群」*/

`▼

--------------------------------------------------------------------------------

(0)「Q(x) =' (x^{3} - 1) / (x - 1)」の右辺の除算の商を求めよ

(1)参考資料

　①【[%615D1](5)】/*「∠(K'/M)」*/

　②【[%626D1](2)】/*「W`(K'/M)」*/

　③【[%629M1](0)⑤】/*「ω(M; K')」*/

　④【[%711D1](4)】/*「Δ(P(x)/(x - α))」*/

　⑤〔定理5.23〕(p.364)/*「固定体」*/
　⑥〔定理5.24〕(p.365)/*「固定群」*/
　⑦[_多項式環#体上の一変数多項式環_K[X]]@
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/多項式環#体上の一変数多項式環_K[X]
　⑧[3_拡大体]@http://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/
　⑨[_単拡大]@https://ja.wikipedia.org/wiki/単拡大
　⑩【[%713M2]】/*「商群に関する無責任メモ」*/
(2)「Γ((x^{3} - 1)/(x - 1)) = x^{2} + x + 1」

(3)「α =' W`(1/3」とすると「(α^{3} - 1) = 0」であり

　　「x^{3} - 1 = (x - 1) * Γ(x^{3} - 1)/(x - α))」

　①「ω(n; k')」は「Δ(k'/n)」の数平面表示)

　②一般に「ω(n; n) = 1」「ω(n; k') + ω((n - k')/n) = 0」

　③「ω(n; n)」は乗法の単位元，加法の単位元「0」は「`ω(n)」に存在しないが

　　逆元が存在するので「`ω(n)」は巡回群と同型．/*【[%6_]】*/

　④「③」の「n」が素数であれば「`ω(n)」は位数「n」の有限体

(4)「`Q(x)」上の「n次」の多項式「P(x)」を「(x - α)」で除算した

　商を「Γ(P(x)/(x - α))」，剰余を「Δ(P(x)/(x - α))」と表記．

　/*〔一般には通用しない非慣用記法！〕*/

　①「α =' W`(1/n)」（n ＞ 1）とすると「α^{n} = 1」

　②「x^{2} - 1 = (x + 1) * (x - (- 1)^{2})」

　　/*「α = - 1」*/

　③「x^{3} - 1 = (x - α) * (x - α^{2})* (x - α^{2})* (x - α^{3}))」

　　/*「α = W`(1/3) = cos∠(1/3) + i_ * sin∠(1/3)」*/

　④「x^{4} - 1 = (x - (i_)) * (x -(-1)})* (x - (- i_))* (x - (1))」

　　/*「α = W`(1/4) = i_」*/

　⑤「x^{5} - 1」は「(x - α^{k'})」（ k' ∈ `N(5) ）の積　　

　　/*「α = W`(1/5) = cos∠(1/5) + i_ * sin∠(1/5)」*/

(5)分数を使わない人の説明は「W`(n/n)」の代わりに「e」を用いるので分かり難い．

　①例えば原著の「σ^{3} = e」(p.128)

　②「W`(n/n)」は「`Δ(k'/n)」の「k' = n」に対応する準同型写像の核

--------------------------------------------------------------------------------

`▲字数削減のため「□ / □」を「□/□」と略記

%713P4:〔問71.4〕/*「正数のべき乗根の商群」*/

`▼

--------------------------------------------------------------------------------

(0)「Δ(x^{n} - a)/(x - β^{n}))」（β =' a^{1/n}）を求めよ

(1)参考資料

　①【[%714P3☆](1)】

　②〔問6.19〕(p.463)

　③〔問6.20〕(p.463)

(2)「Q(x) =' x^{n} - a」（ k' ∈ `Z(n) ）とおくと「β^{k'}」は

　「 x^{n} = a」の相異なる根であり，次式が成立/*「β^{n} = a」*/．

　①「x^{n} - a = (x - β)*(x - β^{2})* … *(x - β^{n})」

　②「Γ(x^{n} - a)/(x - a))

　　　= (x - β)*(x - β^{2})* … *(x - β^{n - 1})」

　③「β^{k'}」（ k' ∈ `Z(n) ）は数平面上の半径「β」の円周上の点

　④「ガロア拡大」では「`Q(β)」（ β は無理数）を加えると自動的に

　　数平面上に「β * W`(k'/m)」（ k' ∈ `Z(n) ）が追加される．/*「(1)②」*/

(3)「x^{n} - 2」のガロア群/*〔問6.19〕*/

　①「β = 2^{1/n}」「ζ^{k'} = W`(k'/n)」として考える．/*「ζ = W`(1/n)」*/

　②「Q(β,ζ) = β * (x - ζ) * (x - ζ^{1}」

　③「Q(β,ζ) = β * (x - ζ) * (x - ζ^{2})」

　④「Q(β,ζ) = β * (x - ζ) * (x - ζ^{2})* (x - ζ^{3})」

　⑤「Q(β,ζ)」は「β」と「(x - ζ^{k'})」（ k' ∈ `Z(4) ）の積

(4)基底に関する無責任メモ

　①「Q(1, ζ)」の基底「1」は「1 * W`(k'/n)」への対応付け？

　②「Q(β, ζ)」の基底「β」は「β * W`(k'/n)」への対応付け？

　③「Q(x) =' (x^{n} - 1)」,「a =' β^{n}」とおくと「Q(a) = 0」だから商は

　　「Q(x)/(x - a) = Γ((x^{n} - 1)/(x - β^{n}))」

　④「(3)④」の例では「β * (x - W`(1/3)) * (x - W`(2/3))* (x - W`(3/3))」

　⑤「④」は〔定理6.4〕(p.467)の巡回拡大「Gal(`K(a^{1/n})/`K)」

　⑥原著の「Q(ζ)」は剰余類「`Δ((x^{n} - 1)/(x - 1))」

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`▲背景色はオプション

%713P5:〔問71.5〕/*「既約多項式の剰余類の商群」*/

`▼

--------------------------------------------------------------------------------

(0)「x^{5} - 2」は「Q(ζ)」上の既約多項式であることを示せ

(1)参考資料

　①〔問6.20〕(p.463)

　②〔定義2.3〕(p.178)/*「可解群」*/

　③〔定理3.4〕(p.204)/*「Eisensteinの判定条件」*/

　④〔定義5.8〕(p.380)/*「ガロア拡大」*/

　⑤〔定理5.29〕(p.381)/*「Q(α)がガロア拡大体になる条件」*/

(2)【[%714P4](3)⑤】の「Q(β, ζ)」は「(1)⑤」の条件を満たしている

(3)【[%714P4](4)⑤】と同様に「`Δ((x^{5} - 2)/(x - 2^{1/5}))」も巡回拡大

--------------------------------------------------------------------------------

`▲

%714:可解群

%714P1:〔定義2.3〕の復習

`▼

--------------------------------------------------------------------------------
(0)「可解群」に関する解説を調べよ．
(1)参考資料
　①[_群_(数学)]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群_(数学)#可解群・交換子群・冪零群
　　・[_可解群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/可解群
　②[3_ガロア群と可解群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Radicals/
　③[3_]「可解群について補足」@http://hooktail.sub.jp/algebra/SolvableGroupsApp/
　④[4_]「10-2　交換子群と可解群」@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/101gun.html
　⑤[6_peng225]「群が可解でないための条件」@http://peng225.hatenablog.com/entry/2017/09/22/143833
　⑥[7_]「可解群」@https://www.sist.ac.jp/~kanakubo/research/hosoku/kakaigun.html

　⑦〔定義2.3〕(p.178)

　⑧〔定理2.25〕(p.179)

(2)「(1)⑥」の紹介/*「過剰引用を自粛」*/

------------------------------------------------------------
対称群が、開法で正規部分群に縮小し、さらにその中の正規部分群に縮小し、
最終的に正規部分群でもある恒等置換一つになる必要があるという事だ。
この事を記号で書くと、以下のようになる。
このような列を正規列という。
ガロアは、式の値を不変にする解の置換の群が以下の条件を満たすとき、
方程式が代数的に解ける必要十分条件である事を見出した。
①正規列を持つ（最後は恒等置換となる）。
②正規列の全ての剰余群（上記の例ではSn/H0、H0/H1等）が、巡回群とな
②正規列の全ての剰余群（上記の例ではSn/H0、H0/H1等）が、巡回群となる。
この条件を満たす群を、方程式が解けるという意味で可解群という。
------------------------------------------------------------

(3)「(1)⑧」の紹介

　①巡回群は可解群

　②巡回群の直積は可解群

　③具体例として「`Δ(1/3)」「`Δ(1/5)」「`Δ(1/7)」を使用

(4★)「(1)⑩」/*「削除済」*/の紹介

「(1)」から削除された図は〔問2.6〕(p.133)の「eV ∪ σV ∪ σ^{2}V」を

「N = eV ∪ σ^{2}V ∪ σ^{4}V」/*「交代群」*/で置換した集合だった？
/*〔「blogmura-yy」でログインしなければ確認不能〕*/
--------------------------------------------------------------------------------
`▲続きは[%721M1]

%715:「ピークの定理」(p.480)

`▼

--------------------------------------------------------------------------------

(0)〔「f(x)=0」の解がべき根で表せる〕⇔〔「f(x)=0」のガロア群が可解群である〕

(1)参考資料

　①〔定理6.8〕(p.480)

　②〔定理6.10〕(p.486)

--------------------------------------------------------------------------------

`▲

%719:EOF

2020年7月31日金曜日

複素数で考える商群（２）

複素数で考える商群（１）