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%50:整数で考える剰余類
%60:実数で考える巡回群
%70:複素数で考える商群
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%50:整数で考える剰余類/*「目次」*/
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%51:整数で考える剰余類(1)
%511:剰余の表現/*「〔問1.1〕;〔問1.2〕;〔問1.8〕」*/
%512:2次方程式/*「複素数」*/
%513:数平面/*「三角関数」*/
%514:剰余類
%52:整数で考える剰余類(2)
%521:整数環/*「素因数分解」*/
%522:有理数体
%523:「_xy平面」/*「無理数」*/
%524:実数体
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`▲https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/44f62cc03d4d7c0d33d6a4fe59e26331
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%51:整数で考える剰余類(1)
%511:剰余の表現/*「〔問1.1〕;〔問1.2〕;〔問1.8〕」*/
%512:2次方程式/*「複素数」*/
%513:数平面/*「三角関数」*/
%514:剰余類
%52:整数で考える剰余類(2)
%521:整数環/*「素因数分解」*/
%522:有理数体
%523:「_xy平面」/*「無理数」*/
%524:実数体
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`▲https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/44f62cc03d4d7c0d33d6a4fe59e26331
%51:整数で考える剰余類(1)
%511:剰余の表現
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(1)実数の集合を「`R」, 整数の集合を「`Z」, 自然数（正の整数）の集合を「`N」で表し次のように定義．/*「`□は集合」*/
/*「Let Γ(x) is the maximum integer which is no greater than x,
and define Δ(x) and `N as follows」*/
①「∀ x ∈ `R, Δ(x) := x - Γ(x)」
②「`Z := {x; Γ(x) = x}」
③「`N := {x; (x ∈ `Z)∧(x ≧ 0)}」
(2)「x」（x ∈ `R）に対して「x」を超えない最大の整数を「Γ(x)」で表し、「Δ(x)」を
「Δ(x) := x - Γ(x)」と定める．(3)入門書と比較しやすいように「k ∈`N」である変数「k」の関数
「γ3(k) := (k mod 3)」,「γ5(k) = (k mod 5)」を考える．
/*「γ5(k) = 5 * Δ(k / 5) = k」*/
/*変域を明示していない変数(英小文字)は自然数とみなす*/
(4)参考資料
①[_変数の変域]@https://ja.m.wikipedia.org/wiki/変数_(数学)
②[_関数]@https://ja.wikipedia.org/wiki/関数_(数学)
③[5_ユークリッドの互除法の証明と不定方程式]@https://mathtrain.jp/euclid
/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm」*/
④[_中国の剰余定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/中国の剰余定理
「最小公倍数」を「LCM(m, n)」で表す．
/*「m * n = GCD(m, n) * LCM(m, n)」*/
(6)除算「k / 5」の商は「k - Γ(k / 5) 」，剰余は「γ5(k - 1)」．
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`▲
%511P1:〔問1.1〕(pp.24-25) /*「ユークリッドの互除法」*/
/*〔「P (問):Problem」; 「D(定義): Definition」; 「T(定理): Theorem」〕*/
`▼
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(0)「GCD(851, 185)」を求めよ
/*〔Calculate GCD(851, 185) 〕*/
(1)「N = M * Q + R」（0 ≦ R ＜ M）とすると「N = M * Γ(N / M) + M * R」
(2)「`GCD(N, M)=`GCD(M, (N mod M))」．/*〔定理1.1〕*/
(3)互除法の計算「Δ(851 / 185) = Δ(111 / 185)」,「Δ(185 / 111) = Δ(74 / 111)」,
「Δ(111 / 74) = Δ(37 / 74)」「Δ(74 / 37) = Δ(0 / 37)」は一つの式で表現できる．
(4)慣用の「連分数★」の略記法では「851 / 185 = {4; 1, 1, 1, 2}」
★https://ja.wikipedia.org/wiki/連分数
/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction」*/
(5)「(正規)連分数展開」の末尾は「Δ(1 / K)」．/*「Δ(K / 1) = 0」*/
(6)「(4)」の右辺のような表現では元の「分数」が分からないので，「Frac`(851, 185;(111, 74, 37, 0))」
のように「剰余」の順列で表示すると末尾の「0」の直前の値が分母と分子の最大公約数になる．
・「Δ(74 / 37)」の剰余を「0」と考える．/*「`R」上の計算 */
(7)「Δ(17 / 5) = Δ(2 / 5)」,「Δ(5 / 2) = Δ(1 / 2)」,「Δ(2 / 1) = Δ(0 / 1)」だから，
「Frac`(17,5;(2, 1, 0))」であり「GCD(17, 5) = 1」
(8)「(3)」の連分数展開は「Frac`(23 * 37, 5 * 37; (3 * 37, 2 * 37, 37, 0))」
(9)「GCD(851, 185) = 37」/*「GCD(17, 5) = 1」であることを『17 と 5 は互いに素である』という*/
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`▲
%511P2:〔問1.2〕(pp.27-30)．/*〔「１次不定方程式★」の一般的解法〕*/
★https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_equation
`▼
--------------------------------------------------------------------------------(0)「17 * x + 5 * y = 1」の一つの解を求めよ．
/*〔Show a solution (x, y) of the above equation.〕*/
(1)「17 = 5 * 3 + 2」だから「17 * x + 5 * y 」を「5 * (3 * x + y) + 2 * x」に書き換える．
(2)「z = 3 * x + y」とおくと「(0)」の式は「5 * z + 2 * x = 1」と等価．
(3)「5 = 2 * 2 + 1」だから「w = 2 * z + x」とおくと
「(2)」の式は「2 * w + z = 1」と等価．
(4)「2 * w + z = 1」の一つの解は「(w, z) = (0, 1)」
(5)「w = 2 * z + x」,「(w, z) = (0, 1)」より「x = -2」
(6)「z = 3 * x + y」,「(z, x) = (1, -2)」より「y = 7」
(7)「17 * x + 5 * y = 0」の解は「(x, y)=(- 5 * k), 17 * k)」（k ∈`Z）
(8)一般解は「(x, y)=(-(2 + 5 * k), 7 + 17 * k)」（k ∈`Z）
(9)「z」,「w」の定義式の右辺の「y」,「x」の係数を「1」にすることが肝要．
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`▲This method is explained in the book @[ISBN978-4-86064-363-8]
%511P3:〔問1.8〕(pp.59-60)．/*「中国の剰余定理★」*/
★https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
`▼
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(0)「Δ(A / 3) = Δ(1 / 3)」,「Δ(A / 5) = Δ(2 / 5)」,「Δ(A / 7) = Δ(3 / 7)」として
「Δ(A /105)」を求めよ．/*「105 = 3 * 5 * 7」*/
/*〔Find the integer「A」satisfying「(0)」〕*/
(1)「F`(X, Y, Z) = 3 * Δ(X / 3) + 5 * Δ(Y / 5) + 7 * Δ(Z / 7)」とする．
(2)「F`(70, 0, 0) = Δ(1 / 3)」,「F`(0, 21, 0) = Δ(1 / 5)」,「F`(0, 0, 15) = Δ(1 / 7)」(3)「3 * Δ(x / 3) = a」,「5 * Δ(x / 5) = b」,「7 * Δ(x / 7) = c」となる「x」は
「x = 70 * a + 21 * b + 15 * c」．/*「Δ(70 / 3) = Δ(1 / 3)」*/
(4)「Frac`(105, 35; (25, 10, 5, 2, 0))」．
(5)「F`(X, Y, Z) = 1」の解「(70, 0, 0)」,「(0, 21, 0)」,「(0, 0, 15)」に対応するベクトル
「(Δ(1 / 3), 0, 0)」「(0, Δ(1 / 5), 0)」「(Δ(1 / 7), 0, 0)」を「`R^{3}」に
埋め込んだベクトルを，スカラー倍を整数倍に限定した実ベクトル空間の直交基底に使える．
(6)「(3)」の「x」が一般解
(7)We would like to emphasize that the function
「Δ(x)」is simple and convenient for everyone in the world to study modular arithmetic.
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`▲
%511D2:記号の定義
`▼
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(0)方程式「x^{3} - 1 = 0」の解を求めよ．
①「f(x) = (x - 1) * (x^{2} + x + 1)」だから「f(1) = 0」/*「因数定理」*/
②「x^{2} + x + 1 = 0」の解は「x = ±i_ * sin(π / 3)」
(1)参考資料
①「https://ja.wikipedia.org/wiki/因数定理」
②「https://ja.wikipedia.org/wiki/二次方程式の解の公式」
③「https://ja.wikipedia.org/wiki/虚数単位」
(2)虚数単位を「i_」と表記すると解は
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%512:行列式
%512D1:記号の定義/*「行列式」*/
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(0)次の連立１次方程式の解「(x, y)」を求めよ．
①a * x + b * y = p
②c * x + d * y =q
(1)参考資料
①[5_連立１次方程式]@https://mathtrain.jp/renritsu
②[3_LU分解]@http://www.hooktail.org/computer/index.php?LU%CA%AC%B2%F2
③[5_行列式]@https://mathtrain.jp/determinant
④[5_置換]@https://mathtrain.jp/permutation
⑤[5_差積]@https://mathtrain.jp/saseki
⑥[5_転置行列]@https://mathtrain.jp/transpose
⑦[5_逆行列]@https://mathtrain.jp/inversematrix
(2)行列「A」の「(i, j)要素」を「A_^{(i, j)}」で表すと，「(0)」の方程式は
①「A_{(1, 1) ＝ a」「A_{(1, 2) ＝ b」「A_{(2, 1) ＝ c」「A_{(2, 2) ＝ d」
②「A(x, y)^T ＝ (p, q)^T」/*「□^T」は「□」の「転置」*/
③「a * d - b * c」を「A」の「行列式」といい、「det(A)」と表記．
④「D＝det(A)」が「0」でなければ逆行列「A^{- 1}」が存在し，
「A^{- 1}_{(1, 1) ＝ a / D」, 「A^{- 1}_{(1, 2) ＝ - b / D」
「A^{- 1}_{(2, 1) ＝ - c / D」,「A^{- 1}_{(2, 2) ＝ d / D」
(3)連立１次方程式の解き方より「(1)④」の「置換」を読んでください．
(4)
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`▲
%513:数平面
%513D1:記号の定義/*「三角関数」*/
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(0)「_xy平面」上の点を「P = (x, y)」を極座標で表せ
(1)参考資料
①[_直交座標系]@https://ja.wikipedia.org/wiki/直交座標系
/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system」*/
②[_極座標]@https://ja.wikipedia.org/wiki/極座標系
/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system」*/
③[_三角関数]@https://ja.wikipedia.org/wiki/三角関数
/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions」*/
(2)「(x, y) = (r * cos(θ), r * sin(θ))」
/*「r = (x^{2} + y^{2})^{1/2}」*/
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`▲
%514D1:記号の定義/*「剰余類」*/
`▼
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(0)「`Δ(k / M) = {Δ(k / M); k ∈ `Z}」（「k」は変数，「M」は定数 )を
「M」を法とする剰余類 という．/*集合には「`□」のように「`」を付加*/
(1)参考資料
①[3_剰余類]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Remainder/
/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Coset#Integers」*/
②[82_剰余類]@https://mathwords.net/joyorui
(2)「(0)」の剰余類の元「Δ(k / 6)」,Δ(j / 6)」の加法と乗法の値を
６行６列の行列「A」,「B」で表示すると
①「Δ(k / 6) + Δ(j / 6) = Δ((k + j) / 6)」だから
「 0 1 2 3 4 5
0 (0, 1, 2, 3, 4, 5),
1 (1, 2, 3, 4, 5, 0),
A = 2 (2, 3, 4, 5, 0, 1),
3 (3, 4, 5, 0, 1, 2),
4 (4, 5, 0, 1, 2, 3),
5 (5, 0, 1, 2, 3, 4)」
②「Δ(k / 6) * Δ(j / 6) = Δ((k * j) / 6)」だから
「 0 1 2 3 4 5
0 (0, 0, 0, 0, 0, 0),
1 (0, 1, 2, 3, 4, 5),
B = 2 (0, 2, 4, 0, 2, 4),
3 (0, 3, 0, 3, 0, 3),
4 (0, 4, 2, 0, 4, 2),
5 (0, 5, 4, 3, 2, 1)」
(3)「Δ(25 / 6) = Δ(1 / 6)」だから「Δ(k / 6 ) * Δ(1 / 6) = Δ(k / 6)」
(4)「3 * Δ(2 / 3) ＝ 5 * Δ(2 / 5)」であるが「Δ(2 / 3) ≠ Δ(2 / 5)」
/*〔【[%60]】以降では【[%50]】のように「整数化」して考えない〕*/
`▲①「Δ(k / 6) + Δ(j / 6) = Δ((k + j) / 6)」だから
「 0 1 2 3 4 5
0 (0, 1, 2, 3, 4, 5),
1 (1, 2, 3, 4, 5, 0),
A = 2 (2, 3, 4, 5, 0, 1),
3 (3, 4, 5, 0, 1, 2),
4 (4, 5, 0, 1, 2, 3),
5 (5, 0, 1, 2, 3, 4)」
②「Δ(k / 6) * Δ(j / 6) = Δ((k * j) / 6)」だから
「 0 1 2 3 4 5
0 (0, 0, 0, 0, 0, 0),
1 (0, 1, 2, 3, 4, 5),
B = 2 (0, 2, 4, 0, 2, 4),
3 (0, 3, 0, 3, 0, 3),
4 (0, 4, 2, 0, 4, 2),
5 (0, 5, 4, 3, 2, 1)」
(3)「Δ(25 / 6) = Δ(1 / 6)」だから「Δ(k / 6 ) * Δ(1 / 6) = Δ(k / 6)」
(4)「3 * Δ(2 / 3) ＝ 5 * Δ(2 / 5)」であるが「Δ(2 / 3) ≠ Δ(2 / 5)」
/*〔【[%60]】以降では【[%50]】のように「整数化」して考えない〕*/
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