・[%605](7)を更新
%0:Δで考えるガロア群
/*「Learning Galois Theory with Δ(x)」*/
・「Δで考える有限群(□)★」の紹介．/*〔「有限群」⇒「ガロア群」で記事を分別〕*/
★https://oshino3.blogspot.com/2020/07/blog-post.html
%40:目次`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%50:整数で考える剰余類
%60:実数で考える巡回群
%70:複素数で考える商群
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%601:目次
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
%62:実数で考える巡回群(1)
%611:剰余類
%612:有限体
%613:既約多項式
%614:ユークリッド空間
%615:巡回群
%62:実数で考える巡回群(2)
%626:対称群
%627:部分群
%628:正規部分群
%629:準同型写像
--------------------------------------------------------------------------------
`▲https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/1494b69f0bbb8c6d7793afb467dcafa0
%602:参考資料
`▼
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(0)
(1)参考資料
①
②
③
(2)
(3)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%603:資料の参照
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)
(1)参考資料
①
②
③
(2)
(3)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%604:数学記号
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)原則としてTeXの記法に従う
①「<sup>□</sup>」は「^{□}」で代替
②「<sub>□</sub>」は「_{□}」で代替
③「`□」の「□」は集合
④「□'」の「□」は変数/*〔集合の変数は不可〕*/
⑤「□`[」の「□」は配列．/*〔「`[□]」の「□」は添字〕*/
⑥「□`(」の「□」は関数．/*〔「`(□)」の「□」は引数〕*/
(1)参考資料
①
②
③
(2)数学記号
①全角の数学記号はそのまま使う．/*〔e.g.「≦」,「⊃」,「∠」〕*/
②「□'」の「□」が数学記号であれば「'」を省略する．/*〔変数でないことは自明〕*/
③「='」を局所的な定義に使ってもよい．/*〔「:=」は全パラグラフ共通〕*/
④「≡」を同型，「≡'」を準同型を示す比較演算子に使う．
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%62:実数で考える巡回群(1)
%611:剰余類
%612:有限体
%613:既約多項式
%614:ユークリッド空間
%615:巡回群
%62:実数で考える巡回群(2)
%626:対称群
%627:部分群
%628:正規部分群
%629:準同型写像
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`▲https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/1494b69f0bbb8c6d7793afb467dcafa0
%602:参考資料
`▼
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(0)
(1)参考資料
①
②
③
(2)
(3)
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`▲
%603:資料の参照
`▼
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(0)
(1)参考資料
①
②
③
(2)
(3)
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`▲
%604:数学記号
`▼
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(0)原則としてTeXの記法に従う
①「<sup>□</sup>」は「^{□}」で代替
②「<sub>□</sub>」は「_{□}」で代替
③「`□」の「□」は集合
④「□'」の「□」は変数/*〔集合の変数は不可〕*/
⑤「□`[」の「□」は配列．/*〔「`[□]」の「□」は添字〕*/
⑥「□`(」の「□」は関数．/*〔「`(□)」の「□」は引数〕*/
(1)参考資料
①
②
③
(2)数学記号
①全角の数学記号はそのまま使う．/*〔e.g.「≦」,「⊃」,「∠」〕*/
②「□'」の「□」が数学記号であれば「'」を省略する．/*〔変数でないことは自明〕*/
③「='」を局所的な定義に使ってもよい．/*〔「:=」は全パラグラフ共通〕*/
④「≡」を同型，「≡'」を準同型を示す比較演算子に使う．
/*〔「=^{~}」「~_{=}」のような組みあわせは放棄〕*/
⑤「□'」をシアンにすれば「□」のままでもよい．/*〔原稿では「'」が必須〕*/
`▲「(3)」を追加
%605:背景色
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)背景色はオプション（省略可）
(1)参考資料
①
②
③
(2)既定値
①白:初期化済
②シアン:パラグラフID
③茶:編集中/*〔「パラグラフID」「項目番号」〕*/
④灰:確認済
⑤緑:非慣用記法
⑥黄:強調用
(3)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲
%606:パラグラフの構成/*「暫定案」*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0)主題（記法と問）
(1)参考資料
(2)「(0)」の解
(3)-(6)「(0)-(1)」への補足
①パラグラフ[%□]の記事は【】で参照
②原著の文章や図は〔〕内でページを指定して参照
③行末の全角の「？」は無責任推測，「！」は留意点
(7)要約(オプション)
(8)未処理
(9)編集履歴（訂正・変更）
⑩:一覧
⑪-⑲:
⑳:最終更新日(オプション)
--------------------------------------------------------------------------------
`▲「BLogger」では「全角」は無理だからシアンで明示
%61:剰余類
%611:剰余類
%611D1`:記号の定義/*「剰余類」*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(0☆)正数「x」を超えない最大の整数を「Γ(x)」で表し「Δ(x) := x - Γ(x)」と定義．
and define Δ(x) and `N as follows」*/
①「∀ x ∈ `R, Δ(x) := x - Γ(x)」
②「`Z := {x; Γ(x) = x}」
③「`N := {x; (x ∈ `Z)∧(x ≧ 0)}」
(1)参考資料
①[_剰余演算子]@https://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation
②[_束縛変数]
@https://en.wikipedia.org/wiki/Free_variables_and_bound_variables
③[_自然数]@https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
(2)「K' / M」( (K', M) ∈ `D ×`N )の商は「Γ(K' / M)」，剰余は「M * Δ(K / M)」
/*〔「K'」は変数，「M」は定数．変数には「変域」が必須．〕*/
(3)集合「`N(M)」を「`N(M) := {K; (K ∈ `N) ∧ (K ＜ M)} 」と定義．
①「K」は「束縛変数」だから「K'」にしない．/*as「{x; P(x)∧Q(x)}」*/
(4)集合「{Δ(K' / M); (K', M) ∈ `D ×`N}」を
「M」を法とする剰余類といい，「`Δ(K'(∈`D) / M)」と略記．
/*〔「K'」は自由変数．「`D」は別途定義〕*/
①単なる「`Δ(K' / M)」は「`D = `N(M)」と解釈．
(5)集合「{Δ(K / M); (K' ∈ `N) ∧ (GCD(K, M) = 1)}」を「M」を法とする
既約剰余類といい，「`Δ(K' / M)'」と略記．/*「Δ(M / M) = 0」*/
/*〔正統派は「Δ(M / M) = 0」を使わないので不便！〕*/
/*〔非慣用記法だが上付の「*」はキー入力が煩わしいので「)'」で代替〕*/
「最小公倍数」を「LCM(K1', K2')」で表す
(7)有限集合「`G」の元の個数を「|`G|」で表す．
(8☆)「x ≦ 0」のときは「Γ(x):= - Γ(x)」,「Δ(x)) := - Δ(x)」/*【[%713M1]】*/
★https://bonsai-juku.blogspot.com/2020/07/blog-post_21.html
%61P1:〔問1.1〕/*「ユークリッドの互除法★」*/
★https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
/*「上記URLをクリックすると日本語の表示に変わります」*/
「https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95」
%61P2:〔問1.2〕/*「中国の剰余定理★」*/
★https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
%612:有限体
%612D1:記号の定義
`▼
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(0)「M」が素数のとき【[%61D1]】で定めた
「`Δ(K' / M)'」は実数体上の通常の加法，乗法に関して「有限体」になる．
[_群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群_(数学)
[_全単射]@https://ja.wikipedia.org/wiki/全単射
[_同型写像]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型写像
[_有限体]@]@https://mathtrain.jp/galoisfield
[52__原始根]@https://mathtrain.jp/primitive
[62_原始根]@http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/02/28/102350
(2☆)「`Δ(K' / M)'」( K' ∈ `N(M) )」での計算は:
①「Δ(K1' / M) + Δ(K2' / M) = Δ((K1' + K2') / M)」
②「Δ(K1' / M) * Δ(K2' / M) = Δ((K1' * K2') / M)」
(3☆)次式の「`G5」は有限体であるが「`G0」には加法の単位元がない！
「`G5 := {Δ(K'/5); (1 ≦ K' ≦ 5)}」
「`G0 := {Δ(K'/5); (0 ≦ K' ＜ 5)}」
①「K'」は自由変数/*【[%61D1](5)】*/
②「`G5」にも加法の単位元がないが，逆元があるので体になる．
③「Δ((K1' + (M - K1') / M) = 0」
`▲
%613:既約多項式/*「拡大体」*/
%614:ユークリッド空間/*「三角関数」*/
%615:巡回群
%615D1:記号の定義/*「巡回群」*/
`▼
--------------------------------------------------------------------------------
(1)「σ」（作用素）を「σ(Δ(K' / M)) := Δ((K' + 1) / M)」と定める．
/*「引数は元」*/
「`σ(`Δ(K' / M)') := {(σ(X)); X ∈`Δ(K' / M)')} 」
/*「引数は集合」*/
(2)「`Δ(K' / M))'」の元に対して通常の実数体上の加法の演算と考えると
「アーベル群」になる．
/*単位元は「Δ(M / M)」，「Δ(K' / M)」の逆元は「Δ((M - K') / M)」*/
(3)参考資料
①[_アーベル群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル群
★https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_group
②[_巡回群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/巡回群
★https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
/*〔「循環グループ」になる！〕*/
/*〔「群」＝「基團（繁体）／組（簡体）」〕*/
③[3_有限巡回群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/FiniteCyclicGroup/
④[4_巡回群]@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/020gun.html
⑤[_作用素]@https://ja.wikipedia.org/wiki/作用素
⑥[_群作用]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群作用
⑦[_対称群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/対称群
★https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
①σ(Δ(K' / 3)) = Δ((K' + 1) / 3)
②σ^{2}(Δ(K' / 3)) = Δ((K' + 2) / 3)/*偶置換*/
③σ^{3}(Δ(K' / 3)) = Δ((K' + 3) / 3)
(5)「∠(K'/M) := 2 * π * (K' / M)」（「π」のフォントはTimes）と定めると
「`Δ(K' / M)'」の元は「_xy平面」上の点「P(M; K')」(K' ∈ `N(M))と
1対1に対応する．
/*「P(M; K') = P(cos∠(K' / M), sin∠(K' / M))」*/
--------------------------------------------------
①「P(6; 1) = P(cos∠(1 / 6), sin∠(1 / 6))」/*「σ^{1}」:「原始根★」*/
②「P(6; 2) = P(cos∠(2 / 6), sin∠(2 / 6))」
③「P(6; 3) = P(cos∠(3 / 6), sin∠(3 / 6)) ＝ P(- 1, 0)」
④「P(6; 4) = P(cos∠(4 / 6), sin∠(4 / 6))」
⑤「P(6; 5) = P(cos∠(5 / 6), sin∠(5 / 6))」
⑥「P(6; 6) = P(cos∠(6 / 6), sin∠(6 / 6))」/*「σ^{6}」:「恒等作用素★」*/
--------------------------------------------------
★https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_function
(6)「σ(`Δ(K' / 6)')」は元「Δ(K' / 6)」に対応する点「P(M; K')」を原点を中心に左回りに「60°」回転させる操作に等しく，「`G6 = {σ^{K}; K ∈ `N(6)}」は
「σ^{K + 1}(Q) = σ(σ^{K}(Q))」によって「巡回群」になる．
/*「Q」は「_xy平面」上の適当な図形(点の集合)*/
(7)任意の「(K1', K2')」（ (K1', K2') ∈ `N × `N ）に対して
「Δ(K1' / M1) = Δ(K2' / M2)」（{M1, M2} ⊂ `N ）が成立することを
「`Δ(K1' / M1)」と「`Δ(K2' / M2)」は同型であるといい，
「`Δ(K1' / M1) ≡' `Δ(K2' / M2)」と略記する．/*【[%604](2)③】*/
(8)例えば「f2(x) = 2 * x」とすると「`Δ(f2(K') / 6) ≡' `Δ(K' / 3)」
⑤「□'」をシアンにすれば「□」のままでもよい．/*〔原稿では「'」が必須〕*/
⑥原則として定数は半角の英数字で表示して末尾に「_」を付加する．
⑦「e_」は自然対数の底，「i_」は虚数単位
⑧「□_」のフォントが「JIS」(原稿)や「Times」(Blogger)のときは「_」を省略．
/*〔とりあえず「π」(円周率)と「ε」(巡回群の乗法の単位元)〕*/
⑨例外的に写像「f」の逆写像を「f^{_1}」と略記/*「f^{- 1}」を短縮*/
(3)数式の背景色
①既定値はない．（シアンにすると目立ちやすい）
②【[%604](2)】
③数式〔集合を「`{□}」で表し「`」と要素間の「,」を茶にしてもよい．
「`Δ(1 / 3)" = `{Δ(1 / 3), Δ(2 / 3), Δ(3 / 3)}」/*【[%629M1](7)】〕*/
④数式全体をシアンにして「=」の前後を白，「③」の茶を上書きすると簡単
②【[%604](2)】
③数式〔集合を「`{□}」で表し「`」と要素間の「,」を茶にしてもよい．
「`Δ(1 / 3)" = `{Δ(1 / 3), Δ(2 / 3), Δ(3 / 3)}」/*【[%629M1](7)】〕*/
④数式全体をシアンにして「=」の前後を白，「③」の茶を上書きすると簡単
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%605:背景色
`▼
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(0)背景色はオプション（省略可）
(1)参考資料
①
②
③
(2)既定値
①白:初期化済
②シアン:パラグラフID
③茶:編集中/*〔「パラグラフID」「項目番号」〕*/
④灰:確認済
⑤緑:非慣用記法
⑥黄:強調用
(3)
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`▲
%606:パラグラフの構成/*「暫定案」*/
`▼
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(0)主題（記法と問）
(1)参考資料
(2)「(0)」の解
(3)-(6)「(0)-(1)」への補足
①パラグラフ[%□]の記事は【】で参照
②原著の文章や図は〔〕内でページを指定して参照
③行末の全角の「？」は無責任推測，「！」は留意点
(7)要約(オプション)
(8)未処理
(9)編集履歴（訂正・変更）
⑩:一覧
⑪-⑲:
⑳:最終更新日(オプション)
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`▲「BLogger」では「全角」は無理だからシアンで明示
%61:剰余類
%611D1`:記号の定義/*「剰余類」*/
`▼
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(0☆)正数「x」を超えない最大の整数を「Γ(x)」で表し「Δ(x) := x - Γ(x)」と定義．
実数の集合を「`R」,整数の集合を「`Z」,自然数の集合を「`Z」で表し次のように定義．
/*「Let Γ(x) is the maximum integer which is no greater than x, and define Δ(x) and `N as follows」*/
①「∀ x ∈ `R, Δ(x) := x - Γ(x)」
②「`Z := {x; Γ(x) = x}」
③「`N := {x; (x ∈ `Z)∧(x ≧ 0)}」
(1)参考資料
①[_剰余演算子]@https://en.wikipedia.org/wiki/Modulo_operation
②[_束縛変数]
@https://en.wikipedia.org/wiki/Free_variables_and_bound_variables
③[_自然数]@https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number
(2)「K' / M」( (K', M) ∈ `D ×`N )の商は「Γ(K' / M)」，剰余は「M * Δ(K / M)」
/*〔「K'」は変数，「M」は定数．変数には「変域」が必須．〕*/
(3)集合「`N(M)」を「`N(M) := {K; (K ∈ `N) ∧ (K ＜ M)} 」と定義．
①「K」は「束縛変数」だから「K'」にしない．/*as「{x; P(x)∧Q(x)}」*/
(4)集合「{Δ(K' / M); (K', M) ∈ `D ×`N}」を
「M」を法とする剰余類といい，「`Δ(K'(∈`D) / M)」と略記．
/*〔「K'」は自由変数．「`D」は別途定義〕*/
①単なる「`Δ(K' / M)」は「`D = `N(M)」と解釈．
(5)集合「{Δ(K / M); (K' ∈ `N) ∧ (GCD(K, M) = 1)}」を「M」を法とする
既約剰余類といい，「`Δ(K' / M)'」と略記．/*「Δ(M / M) = 0」*/
/*〔正統派は「Δ(M / M) = 0」を使わないので不便！〕*/
/*〔非慣用記法だが上付の「*」はキー入力が煩わしいので「)'」で代替〕*/
(6)「K1'」（ K1' ∈ `N ），「K2'」（ K2' ∈ `N ）の
「最大公約数」を「GCD(K1', K2')」，「最小公倍数」を「LCM(K1', K2')」で表す
(7)有限集合「`G」の元の個数を「|`G|」で表す．
(8☆)「x ≦ 0」のときは「Γ(x):= - Γ(x)」,「Δ(x)) := - Δ(x)」/*【[%713M1]】*/
★https://bonsai-juku.blogspot.com/2020/07/blog-post_21.html
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`▲「Blogger」の等幅フォントは「Courier」のみ．/*「背景色はオプション」*/%61P1:〔問1.1〕/*「ユークリッドの互除法★」*/
★https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
/*「上記URLをクリックすると日本語の表示に変わります」*/
「https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95」
%61P2:〔問1.2〕/*「中国の剰余定理★」*/
★https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
%612D1:記号の定義
`▼
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(0)「M」が素数のとき【[%61D1]】で定めた
「`Δ(K' / M)'」は実数体上の通常の加法，乗法に関して「有限体」になる．
(1)参考資料
[_代数的構造]@https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的構造[_群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群_(数学)
[_全単射]@https://ja.wikipedia.org/wiki/全単射
[_同型写像]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型写像
[_有限体]@]@https://mathtrain.jp/galoisfield
[52__原始根]@https://mathtrain.jp/primitive
[62_原始根]@http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/02/28/102350
(2☆)「`Δ(K' / M)'」( K' ∈ `N(M) )」での計算は:
①「Δ(K1' / M) + Δ(K2' / M) = Δ((K1' + K2') / M)」
②「Δ(K1' / M) * Δ(K2' / M) = Δ((K1' * K2') / M)」
(3☆)次式の「`G5」は有限体であるが「`G0」には加法の単位元がない！
「`G5 := {Δ(K'/5); (1 ≦ K' ≦ 5)}」
「`G0 := {Δ(K'/5); (0 ≦ K' ＜ 5)}」
①「K'」は自由変数/*【[%61D1](5)】*/
②「`G5」にも加法の単位元がないが，逆元があるので体になる．
③「Δ((K1' + (M - K1') / M) = 0」
(4)【[%50]】で定義した関数は【[%60]】以降では使わない．
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%613:既約多項式/*「拡大体」*/
%614:ユークリッド空間/*「三角関数」*/
%615:巡回群
%615D1:記号の定義/*「巡回群」*/
`▼
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(1)「σ」（作用素）を「σ(Δ(K' / M)) := Δ((K' + 1) / M)」と定める．
/*「引数は元」*/
「`σ(`Δ(K' / M)') := {(σ(X)); X ∈`Δ(K' / M)')} 」
/*「引数は集合」*/
(2)「`Δ(K' / M))'」の元に対して通常の実数体上の加法の演算と考えると
「アーベル群」になる．
/*単位元は「Δ(M / M)」，「Δ(K' / M)」の逆元は「Δ((M - K') / M)」*/
(3)参考資料
①[_アーベル群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/アーベル群
★https://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_group
②[_巡回群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/巡回群
★https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_group
/*〔「循環グループ」になる！〕*/
/*〔「群」＝「基團（繁体）／組（簡体）」〕*/
②[図1]
@https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/64/fa/0148e197c6f67776f6940b77d069c262.png③[3_有限巡回群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/FiniteCyclicGroup/
④[4_巡回群]@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/020gun.html
⑤[_作用素]@https://ja.wikipedia.org/wiki/作用素
⑥[_群作用]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群作用
⑦[_対称群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/対称群
★https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
(4)「σ」の使用例:
[2_62D1](5)の「`GF(3)」の場合は①σ(Δ(K' / 3)) = Δ((K' + 1) / 3)
②σ^{2}(Δ(K' / 3)) = Δ((K' + 2) / 3)/*偶置換*/
③σ^{3}(Δ(K' / 3)) = Δ((K' + 3) / 3)
(5)「∠(K'/M) := 2 * π * (K' / M)」（「π」のフォントはTimes）と定めると
「`Δ(K' / M)'」の元は「_xy平面」上の点「P(M; K')」(K' ∈ `N(M))と
1対1に対応する．
/*「P(M; K') = P(cos∠(K' / M), sin∠(K' / M))」*/
--------------------------------------------------
①「P(6; 1) = P(cos∠(1 / 6), sin∠(1 / 6))」/*「σ^{1}」:「原始根★」*/
②「P(6; 2) = P(cos∠(2 / 6), sin∠(2 / 6))」
③「P(6; 3) = P(cos∠(3 / 6), sin∠(3 / 6)) ＝ P(- 1, 0)」
④「P(6; 4) = P(cos∠(4 / 6), sin∠(4 / 6))」
⑤「P(6; 5) = P(cos∠(5 / 6), sin∠(5 / 6))」
⑥「P(6; 6) = P(cos∠(6 / 6), sin∠(6 / 6))」/*「σ^{6}」:「恒等作用素★」*/
--------------------------------------------------
★https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_function
(6)「σ(`Δ(K' / 6)')」は元「Δ(K' / 6)」に対応する点「P(M; K')」を原点を中心に左回りに「60°」回転させる操作に等しく，「`G6 = {σ^{K}; K ∈ `N(6)}」は
「σ^{K + 1}(Q) = σ(σ^{K}(Q))」によって「巡回群」になる．
/*「Q」は「_xy平面」上の適当な図形(点の集合)*/
(7)任意の「(K1', K2')」（ (K1', K2') ∈ `N × `N ）に対して
「Δ(K1' / M1) = Δ(K2' / M2)」（{M1, M2} ⊂ `N ）が成立することを
「`Δ(K1' / M1)」と「`Δ(K2' / M2)」は同型であるといい，
「`Δ(K1' / M1) ≡' `Δ(K2' / M2)」と略記する．/*【[%604](2)③】*/
(8)例えば「f2(x) = 2 * x」とすると「`Δ(f2(K') / 6) ≡' `Δ(K' / 3)」
(9)補遺
`▲
⑳:最終更新日(K91)
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