実数で考える巡回群（２）

・[%629M1]の変更/*「(3)⑥-⑦」の茶色*/が「Nexus7」に反映されない

・更新すると「データを削除してリセット」が表示される

・[%629M1](6)-(7)を更新/*(7)④が更新されない*/
・「Nexus7」では「ファイルが存在しません」になる/*「チェックを断念」*/
・「ドメイン」を購入しないと「モバイルのブックマーク」の保存できなくなった

・「Blogger」使用者が死ねば「ドメイン」無用！
・「PC」に保存して「ブックマーク」に登録すればよい
・「馬脚が露われました」/*〔[%713M1](5)]で実体を説明〕*/

・

%60:実数で考える巡回群（２）/*「目次」*/
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%62:実数で考える巡回群(1)
%611:剰余類
%612:有限体
%613:既約多項式
%614:ユークリッド空間
%615:巡回群
%62:実数で考える巡回群(2)
%626:対称群
%627:部分群
%628:正規部分群
%629:準同型写像
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`▲https://blog.goo.ne.jp/blogmura-yy/e/1494b69f0bbb8c6d7793afb467dcafa0

%626:対称群

%626D1:記号の定義/*「対称群」*/
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(0)「τ:`N(M)→`N(M)」が「全単射」であるとき「τ」を「置換」という．
　 慣用記法では「(1)③」のように表現するが，このブログではこれを１行で
　 「τ(1,2,3,4,5; 2,3,4,5,1)」と略記する．
(1)参考資料
　①[3_置換の計算]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Permutation/
　②[5_置換]@https://mathtrain.jp/permutation
　③[5_置換.PNG」@https://blogimg.goo.ne.jp/user_image/3b/e7/650de482097a9819b14dedb79dcec962.png
　④[3_正六面体群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicGroup/
　④[_原始根]@https://ja.wikipedia.org/wiki/指数_(初等整数論)
　⑦[5_原始根]@https://mathtrain.jp/primitive
(2)「[%63D1](5)」の「P(M; K')」を複素関数
　 「W`(K'/ M) := (cos∠(K' / M) + i_ * sin∠(K' / M))」

　に対応させると「[%63D1](6)」の「σ^{K'}(Q)」を操作した結果は

「W`(K'/ M) * Q」に等しい
(4)「GCD`(360, 41) = 1」だから「`Δ(K' / 41)'」の原始根を
　 「(1)⑦」のようにして計算するのは非常に面倒であるが原始根は「W`(1 / 41)」．
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%627:部分群

%627D1:記号の定義/*「部分群」*/
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(0)「`Δ(K' / 6))」に含まれる群を示せ．/*【[%611D1](5)】*/
(1)参考資料
　　①[_剰余類環]@https://ja.wikipedia.org/wiki/剰余類環
　　②[63_既約剰余類群]@http://biteki-math.hatenablog.com/entry/2015/04/14/13572
　　③[_群論の用語#正規列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群論の用語#正規列
　　④[_正規部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/正規部分群
　　⑤[3_正規部分群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/NormalSubgroup/
　　⑥[_組成列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/組成列
　　/*〔「https://en.wikipedia.org/wiki/Composition_series」〕*/
　　⑦[3_組成列]@http://hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/
(2)「(0)」の解は
　　①「{Δ(2 / 6), Δ(4 / 6), Δ(6 / 6)}」，「{Δ(3 / 6), Δ(6 / 6)}」
　　②「{Δ(5 / 6), Δ(7 / 6), Δ(9 / 6)}」，「{Δ(6 / 6), Δ(9 / 6)}」
(3)「Δ((K' + 3) / 6)」は「「W`((K' + 3) / 6)」に対応
(4)「`Δ(K' / 6))'」の組成列は
　 「`Δ(K' / 6))' ⊃`Δ(K / 3))'⊃`Δ(K' / 2))' ⊃ `Δ(1 / 1)= {0}」

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%628:正規部分群

%628D1:記号の定義
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(0)
(1)参考資料
　①[_正規部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/正規部分群
　　/*〔「https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgroup」〕*/
　②[3_正規部分群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/NormalSubgroup/
(2)「(1)①」からの引用
群 G の部分群 N が正規部分群であるとは、共役変換によって不変、すなわち
 N の任意の元 n と G の任意の元 g に対して、元 gng^(−1) が再び N に属するときにいう。
任意の部分群について、以下の条件はいずれも今上げた正規性の条件に同値である。
　・G の任意の元 g に対して gNg^{-1} ⊆ N が成り立つ。
　・G の任意の元 g に対して gNg^{-1} = N が成り立つ。
　・G における N を法とする左剰余類全体の成す集合と右剰余類全体の集合が一致する。
　・G の任意の元 g に対して gN = Ng が成立する。
　・N は G の共役類の和集合である。
　・G 上定義された群準同型で N をその核に持つものが存在する。
(3)「(1)②」からの引用
　・「群Gの部分群 H」に対し「G」のある元「g」を使って「gHg^{-1}」と表わせる部分群を
　　「Hの共役部分群」と呼びます．
　・このとき「H」の固定部分群になっている「G」の部分群を「H」の正規化群と呼びます．
　・正規化群の元は，群「G」の元です．「(M) や H」と混乱しないようにして下さい．
(4)正規部分群の重要性は、ガロアによって最初に明らかにされた．/*「(2)」*/
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%628P1:正規列の幾何学的具体例
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(0)「立方根の計算」で例示する
(1)参考資料
　①[_群論の用語#正規列]@https://ja.wikipedia.org/wiki/群論の用語#正規列
　②[_正六面体群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/正六面体
　③[3_正六面体群]@http://hooktail.sub.jp/algebra/CubicGroup/
(2)「_xyz空間」の点「(P[1], P[1], P[1])」( P[1] = 2 )と原点「(0, 0, 0)」を結ぶ線分を
　 対角線とする立方体を「V[1]」とし，この対角線と「(P[1], P[1], P[1])」を
　 中心とする半径「2」の球の交点を「(P[2], P[2], P[2])」とする．
「(P[1], P[1], P[1])」と「(0, 0, 0)」を結ぶ線分の長さは
　 「((P[1] - 0)^{2} + (P[1] - 0)^{2} + (P[1] - 0)^{2})^{1/2} 」
　　/*「= (2^{2} * 3)^{1/2}」*/
(3)「(P[K'], P[K'], P[K'])」と原点「(0, 0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする立方体を「V[K' + 1]」
　 としてこの対角線と「(P[K'], P[K'], P[K'])」を中心とする半径「P[K']」の円の交点の座標を
　 「(P[K'+ 1 ], P[K'+ 1], P[K'+ 1])」とする．/*「P[K' + 1] = (12^{1 / 2}) - P[K']」*/
(4)点「(P[K'], P[K'], P[K'])」は「K'」の増加に伴って原点に近づき「K' → ∞」の極限で
　「(0, 0, 0)」に収束．
(5)「(P[K'], P[K'], P[K'])」と「(0, 0, 0)」を結ぶ線分を対角線とする正六面体を「V[K']」とすると
　 「V[K'] ⊃ V[K' + 1]」だから
　 「正六面体群」の「正規列」を作れる．
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%629:準同型写像


%629D1:記号の定義/*「準同型写像」*/
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(0)「f:`R → `R」が単射で「∀ x ∈ `R,(Δ(f(x) / M1) = Δ(x / M2))」であるとき
　「`Δ(f(x) / M1)」と「`Δx / M2)」は同型であるといい，
　「`Δ(K1' / M1) ≡' `Δ(K2' / M2)」と略記する．
　①「≡'」は同型演算子の代替/*【[%615D1](1)】*/
　②「K1' ∈ `N(M1)」,「K2' ∈ `N(M2)」/*【[%615D1](1)】*/
(1)「準同型写像」の参考資料
　①[_群準同型#準同型写像]@
https://ja.wikipedia.org/wiki/群準同型#準同型写像の種類
　②[3_準同型写像]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　③[_準同型定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/準同型定理
　④[4_準同型定理]@http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/01daisu/120gun.html
　⑤[_自然変換]@https://ja.wikipedia.org/wiki/自然変換
　⑥[61_]「群の自然な準同型と部分群の対応」@http://peng225.hatenablog.com/entry/2016/12/18/112359
　⑦[93_]「"自然な"の意味」@https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14169193324
　・「たいてい次のどちらかだと思います」:
　「部分群（部分対象）からの標準的単射」／「剰余群（商対象）への標準的全射」
(2)慣用記法に反する次の記号を定義する
　①写像「f1:`R → `R」,「f2:`R → `R」の「合成写像★」を「(f1・f2)」で表す．
　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/写像の合成
　　/*「https://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition」*/
　②「f2(f1(x))＝ x」となる「f2」を「f1^(_1)」と略記．/*〔(i_)*(i_)=(_1)〕*/
　③「虚数単位★」を「i_」，「自然対数の底★」を「e_」と表記
　　/*〔編集しない定数の背景色を茶にする．原稿では「_□_」で明示〕*/
　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/虚数単位
　　★https://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数
　④「x」の「自然対数」を「log(x)」，「常用対数」を「log10(x)」と略記
　　「log(1) = e_」だから「e_^{i_ * x} = exp(i_ * x)」
(3)「(1)⑦剰余群への標準的全射」の具体例．/*【[%62P1]】*/
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%629P1:〔問62.1〕/*「」*/

%629P2:〔問62.2〕/*「同型写像」*/
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(0)「`Δ(K'/M)" := {Δ(K/M); (K∈ `Z)∧(1 ≦ K ≦ K' + M)}」として
　 「σ(`Δ(2/3)")」の元を示せ．/*【[%615D1](1)】*/
(1)参考資料
　 ①[_部分群]@https://ja.wikipedia.org/wiki/部分群
　 ②[_同型写像]@https://ja.wikipedia.org/wiki/同型写像
　 ③[3_準同型写像]@http://hooktail.sub.jp/algebra/Homomorphic/
　 ④[_代数的構造]@https://ja.wikipedia.org/wiki/代数的構造
(2)「{Δ(2 / 3), Δ(3 / 3), Δ(1 / 3)}」
(3)「(1)③」の紹介
　①加法の単位元は「`Δ(2/3)"」に不在だが逆元は存在する．/*「W`(K' / M) ≠ 0」*/

　　/*〔一般に「Δ(K / M) + Δ((M - K) / M) = 0」〕*/

②乗法の単位元は「W`(3 / 3)」
　③「σ(`Δ(2/3)")」の「σ」は同型写像
　④準同型写像の核は「W`(3 / 3)」
(4)「`Δ(K'/M)"」は【[%61]】では未定義．/*〔gooブログの式とは無関係！〕*/

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%629M1:自然準同型に関する無責任メモ

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(0)〔問2.8〕の説明が分かり難いので備忘録を作成
　①「`G = `Z」「`H = (6)`G」「`N = (10)`G」として
　  「{`H / (`H ∩ `N)} ≡' {(`H ・`N)/`N}」を確認したい．
　②「`H = (2)`H0」,「`N = (2)`N0」と考えると
　　「{(`H ・`N)/`N} ≡' {(`H0 ・`N0)/`N0}」
　③★「LCM(6, 10) = 30」(p.149)は「①」と無関係だから無視．
　③☆/*〔「作業中」:(漸く勘違いに気づき「(7)」で修正)〕*/

　④「δ(M; k') := M * Δ((k' / M)」（ k'∈ `Z ）

「`δ(M) := {δ(M; k); k ∈ `N(M)}」
　⑤★「ω(M; k') := W`((k' / M)」（k'∈ `Z）
　　　「`ω(M) := {ω(M; k); k ∈ `N(M)}」
　⑤☆「ζ(M; k') := W`((k' / M)」（ k'∈ `Z ）
　　　「`ζ(M) := {ω(M; k); k ∈ `N(M)}」
　⑥「`Δ(K' / M)" := {Δ(K / M); (K∈ `Z)∧(1 ≦ K ≦ K' + M)}」
(1)参考資料
　①〔定理2.16〕(pp.147-148)/*「自然準同型」*/
　②〔問2.8〕(p.149)
　③【[%604](2)④】/*〔「≡'」,「ε」〕*/
　④【[%615D1]】/*〔「σ」,「τ」〕*/
　⑤【[%626D1](2)】/*「W'(K'/M)」*/

　⑥[_素数]@https://ja.wikipedia.org/wiki/素数#素因数分解の可能性・一意性

　⑦[_実数]@https://ja.wikipedia.org/wiki/実数
　⑧[_代数学の基本定理]@https://ja.wikipedia.org/wiki/代数学の基本定理
　⑨[_ピークの定理]@https://www.beret.co.jp/books/detail/487
(2)「(0)-(1)」の式への補足

　①「(6)`G='{(6 * x); x ∈ `G}」
　②「δ(M; k')」,「`δ(M)」は分数を使わない正統派の説明の推測用
　③「〔□〕(p.□)」の「p.□」は「(1)⑨」の対応ページ
　④「(`H1 ・`N2)」は原著の「`H1`N2」
〔⑤☆〕「④」の演算子の定義は
　　「σ(Δ(k' / M)) := Δ((k' + 1) / M)」
　　「τ(Δ(k' / M)) := Δ((- k') / M)」/*「⑧☆」*/
　⑥「σ」,「τ」は「`Δ(k' / M) ='{Δ(k / M); k ∈ `N(M)}」上の全単射で
　　「σ(`Δ(k' / M)) =' τ(`Δ(k' / M)) =' `Δ(k' / M)」/*「自己同型写像」*/
　⑦「`Δ(k' / M)」上の「σ^{M}」「τ^{2}」は恒等写像
〔⑧☆〕一般に「Δ((- x') / M) = Δ(M / M) + Δ((M - x') / M)」

(3)「(0)」の独善的記法への補足．/*「正統派には通用しない！」*/

　①「⑥」は【[%629P2](0)】の定義式のコピー
　②とりあえず「(`H1, `N2)" := {(h1', n2'); (h1', n2') ∈ `H1 × `N2 }」と定義して
　　正統派の説明を推測する．
　③「`N2」の特定の元を指定して,この元を含む「`H1」の拡大群を作りたい
　④「(`H1, `N2)" ≠ (`N2, `H1)"」は自明だから「(`H1 ・`N2)」より簡明
　⑤「③」の特定の元の例は〔定義5.7〕(p.320)の最小分解体の根．
　⑥〔定理2.17〕(pp.150-151)の式は
　　「xyM = δ(M; x + y)」,「xyN = δ(N; x + y)」
　⑦〔「M ⊂ N」だから矢印「⇒」が一方向〕の意味を推測すると
　　〔「6 ＜ 10」だから「Δ(2 / 6) +Δ(4/6)≠Δ(2/10)+Δ(4/10)」〕？
　　 /*〔「6 ＜ 10」は「(0)①」の数値例の後遺症？:【[%606](4)】〕*/
(4)「(0)③★」への補足
　①「(`H・`N) = (6)`Z + (10)`Z」(p.149)を見て
　　「(`H・`N) = (`N・`H)」と誤解！
　②「(0)③☆」の改訂版は長いので「(7)」に挿入

(5)「Q(α)」（ α = 2^{1 / 3} ）のガロア拡大

　①最小分解体は「x^{3} - 2 = α^{3}*(x - 1)*(x - α)*(x - α^{2})」
　②「Q(α)」の「α」が無理数なら最小分解体は「`R」上の多項式
　③「α」が複素数でも「α^{3} = 1」だから「①」の式は次式と等価
　　「α^{1 / 3}*(x - α^{3 - 0})*(x - α^{3 - 1})*(x - α^{3 - 2})」
　④「Q(α^{1/n})」の拡大体は「α」が変わると別の集合！
(6)「δ(M; k')」による正統派の説明の推測
　①「M」を法とする剰余は「δ(M; k' - 1)」（ k' ∈ `N(M) ）
　②「①」を一般化すると「δ(M; (k' - 1) + M * n')」（ n' ∈ `Z ）
　③乗法の公式は「δ(M; k1')*δ(M; k2') = δ(M; k1'* k2')/M」
　④乗法の単位元「ε」を「δ(M; k')」で定義し難い．/*【[%604]】*/
〔⑤★〕「f:`δ(M)→`Z」を「f(δ(M; k') := `W(k' / M)」で定めると「f」は全単射．
　　/*〔「δ(M; k')」は整数だから〔⑤★〕は単純なミス/*〔「k' / M」は分数〕*/
〔⑤☆〕「f:`δ(M)→`N×`Z」を「f(δ(M; k')) := `W(k' / M)」と定義する．
　　/*〔「y' ='Δ(x')」（ x' ∈ `R ）の鋸歯状非線形性は「`W(x)」で対処できる〕*/

　⑥「⑤」の「W`(Δ(k' / M)」の乗法の逆元は「W`((- k') / M)」（ k' ∈ `Z ）

　⑦「⑤」の「W`(Δ(k' / M)」の加法の逆元は「(W`((M - k') / M)」（ k' ∈ `Z ）
　⑧加法と乗法の逆元が存在すれば「`δ(M)」を体にできる．/*【[%612D1]】*/
　⑨「④」の「ε」は「W`(M / M) = 1」/*〔原始根は整数指向の遺物〕*/

　⑩原著には多くの「木」(定理)があって「森」(全体像)を俯瞰し難い．

　 「(1)⑥-⑧」を容認すれば「木」の数が激減する

　⑪難解な枝は気にせず伐採すればよい．/*「e.g.〔問5.9〕(p.322)」*/

(7★)「(1)③☆」への補足

　①「`H/(`H ∩`N) ≡' (`H・`N)/`N」を証明したい
　②「`H ⊂ {Δ((k * 6) / M); (k ∈ `N(6)}」
　　「`N ⊂ {Δ((k * 10)/ M); (k ∈ `N(10)}」
　　と考えて「M = LCM(6, 10) = 30」とする
　③★「h1' =' Δ(10 * k1') / 30)」,「n2' =' Δ((6 * k2') / 30)」と定義．
　④★「(`H1・`N2)" = (`Δ(k1' / 3), `Δ(k2' / 5))"」/*「(3)②」*/
　⑤★「④」の「k2'」で所望の「`N2」の元を選択できる．
　⑥★「LCM(6, 10) = 30」だから次式の巡回群で考える
　　「`G =' {Δ(k / 30); k ∈ `N(30)} = `Δ(1 / 30)"」
　　「`H1 =' {Δ((k*10) / 30); k ∈ `N(3)} = `Δ(1 / 3)"」
　　「`N2 =' {Δ((k*6) / 30); k ∈ `N(5)} = `Δ(1 / 5)"」
(7☆)「(1)③☆」への補足
　①「`H / (`H ∩`N) ≡' (`H・`N) / `N」を証明したい
〔②★〕「(0)②」性質を活用して
　　「`G0 =' `Δ(1 / 15)"」,「`H1 =' `Δ(1 / 3)"」,「N2` =' `Δ(1 / 5)"」
　　と定めると「`G0 ≡' (5)`H1」,「`G0 ≡' (3)`N2」
　　/*〔「5 * Δ(1 / 3) = (3 + 2) * Δ(1 / 3) = 1+Δ(2 / 3)」〕*/
〔②☆〕「(0)②」性質を活用して
　　「`G0 =' `Δ(1 / 15)"」,
　　「`H1 =' {Δ((k * 5) / 15); k∈ `N(3))}」,
　　「`N2 =' {Δ((k * 3) / 15); k∈ `N(5))}」.
　　と定めると「`G0 ≡' `H1」,「`G0 ≡' `N2」

　③「Δ(1 / 3)」に「Δ(1 / 5)」を加えるときは「Δ(2 / 15)」を用いて

「Δ(1 / 3) + Δ(3 / 15) + Δ(2 / 15) = Δ(2 / 3)」とする！
　　/*〔数学者は一般性を重視して例示するので分かり難い．「(0)②」〕*/
　④「(0)⑥」の定義から
　　「`Δ(1 / 3)"  =  `{Δ(1 / 3), Δ(2 / 3), Δ(3 / 3)}」/*【[%605]】*/
　　「`Δ(1 / 3)" = `{Δ(1 / 3), Δ(2 / 3), Δ(3 / 3)}」/*【[%605](3)】*/
　★[%61]@https://bonsai-juku.blogspot.com/2020/07/blog-post_31.html

　　「`Δ(1 / 5)" = `{Δ(1 / 5), … ,Δ(4 / 3), Δ(5 / 5)}」

であり，「M」が素数であれば「`Δ(k' / M)"」は有限体で
　　「Δ(k' / M) = σ^{k'}Δ(1 / M)」Δ(k' / M)」．/*「(2)⑥」*/
　⑤【[%60]】以降では群の演算子「・」を実数体上の加法「+」と考える
　　/*「第１章では〔定義1.3〕(p.41); 第２章から〔問2.8〕(p.149)」*/
　⑥☆「h1' =' (Δ(k1' * 5) / 15)」,「n2' =' Δ((k2' * 3) / 15)」と定義．
　　/*〔「k1'」,「k2'」は独立変数．「h1'」,「n2'」は従属変数〕*/
　⑦☆「`G0」の元についても同様に「「g0' =' Δ((k0' / 15)」」と定義．
　⑧☆「(k1', k2', k0')=(1, 1, 2)」とおいて「③」を復習すると
　「h1' + n2' =Δ(5 / 15) + Δ(3 / 15) + Δ(2 / 15) = Δ(10 / 15)」
　⑨「`N2」を正規部分群に限定しなければ「(`H1・`N2) = (`H1・`N2)」
　/*〔限定すると「`Δ(1 / 6)'」を「`N2」に使えない〕*/
　⑩「`H1」に付加したい「`N2」の元は通常「Δ(5 / 5)」
　⑪「`H1」に使いたいのは多項式環の剰余類「`Q(x) / P(x)」
(8)未処理
　①ファイルの肥大化回避のため【[%71]】で補足．
(9)編集履歴（訂正・変更）
　⑩[%61],[%62],[%71]
　⑪%612D1「(2☆)-(3☆)」
　⑫%629M1「(0)③★」⇒「(0)③☆」
　⑬%629M1「(0)⑤★」⇒「(0)⑤☆」
　⑭%629M1「(2)⑤☆」を修正，「(2)⑧☆」を追加
　⑮%629M1「(7)②★」を修正，「(7)②☆」を追加
　⑮%713M1「(5)」を追加
　⑯各ファイル冒頭で「⑮」を参照
　⑳K99

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`▲作業中(内容は無保証)